Zeige: Ist f in x₀ differenzierbar, so gilt (∗) und die Grenzwerte sind gleich f′(x₀). Gleichheit der Grenzwerte?

Question

Aufgabe:

Für eine Funktion f : [a, b] →ℝ und x₀ ∈ ]a, b[ betrachten wir die Eigenschaft 
lim n→∞ n [f(x₀-1/n )−f(x₀)] = lim n→∞ n [f(x₀+1/n )−f(x₀)] (∗) 
Genauer sagen wir, dass (∗) gilt, falls die beiden Grenzwerte existieren und gleich sind.
(a) Zeigen Sie: Ist f in x₀ differenzierbar, so gilt (∗) und die Grenzwerte sind gleich f′(x₀).
(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Gilt (∗), so ist f differenzierbar in x₀. (Hinweis: Betrachten Sie die „Dirichlet-Funktion“ f : [a, b] → ℝ definiert durch f(x) = 1, falls x ∈ ℚ ∩ [a, b], und f (x) = 0, sonst.)

Problem/Ansatz:

a) Ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass es differenzierbar ist, denn ich habe ja keine Funktion gegeben... deswegen weiß ich nicht, wie ich die Funktion lösen soll.

b) haben wir das nicht dann in a) quasi schon gezeigt? Wie macht man das andersherum?

Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen :)

Comments

Dirichlet-Funktin als Hinweis schon beachtet?

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In deiner andern Frage wird h verwendet. Hier 1/n .

Weil  mit  1/n für h unter dem Bruchstrich ein Bruch (1/n) steht: Mit dem Kehrwert von 1/n multiplizieren. Daher das n vor der Differenz im Zähler.

Answer 1

a) Falls \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h} \) ex,, nennen wir den Grenzwert f'(x₀).

h ist dabei eine beliebige Nullfolge, also h(n)→0 für n→∞.

Wenn f in x₀ differenzierbar ist, muss die Konvergenze für jede beliebige Nullfolge gelten, also auch mit (1/n), n∈ℕ.

Fertig ist a)!

\( \lim\limits_{1/n\to0} \) \( \frac{f(x_{0}+1/n) - f(x_{0})}{1/n} \) = \( \lim\limits_{1/n\to0} \)n* \( \frac{f(x_{0}+1/n) - f(x_{0})}{1} \)

b) Wenn \( \lim\limits_{1/n\to0} \) \( \frac{f(x_{0}+1/n) - f(x_{0})}{1/n} \) konvergiert, also nur mit einer speziellen Nullfolge (1/n), aber nicht mit allen, h allgemein, kann es passieren, dass der Grenzwert nicht die Ableitung von x₀ ist oder dass der Grenzwert nicht allgemein für alle Nullfolgen existiert. Ein gutes Beispiel wird in der Aufgabe ja schon verraten:

Nimm eine rationale Zahl x₀∈ ℚ ∩ [a, b], dann ist der ganze Bruch

\( \frac{f(x_{0}+1/n) - f(x_{0})}{1/n} \) =1 - 1 = 0, da die Argumente im Zähler rational sind. Für alle n∈ℕ erhält man für den Bruch immer 0, also die Folge 0,0,0,0,...

Also \( \lim\limits_{1/n\to0} \) \( \frac{f(x_{0}+1/n) - f(x_{0})}{1/n} \) =0

Trotzdem wird niemand behaupten, die Dirichlet-Funktion sei differenzierbar, weil sie offensichtlich nicht mal stetig ist.

(bekannt: in jeder δ-Umgebung um x₀, springt sie unendlich oft zwischen 0 und 1 hin und her, bleibt also in keinem kleinen ε-Bereich, wie es sich für eine steige Funktion gehört.:)