Zeige anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit f′(a) = − g′(a)/ (g(a))^{2}

Question

Sei g : D → R differenzierbar bei a, wobei a ∈ D innerer Punkt,
sei g(x) ≠ 0 fur alle x ∈ D. Wir können dann die Funktion f : D → R mit
f(x) = \( \frac{1}{g(x)} \)  bilden.

Zeigen Sie anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit
f'(a) = - \( \frac{g'(a)}{(g(a))²} \) .

Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass g bei a stetig

(da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt!

...verwenden Sie daher in dieser Aufgabe bitte nicht die Quotientenregel.

Mein Ansatz:

\( \lim\limits_{x\to\ a} \)  \( \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(a)}}{x-a} \)  

= \( \lim\limits_{x\to\ a} \)  \( \frac{\frac{g(a)}{g(x)*g(a)}-\frac{g(x)}{g(a)*g(x)}}{x-a} \)

=  \( \lim\limits_{x\to\ a} \)  \( \frac{\frac{g(a) - g(x)}{g(x)*g(a)}}{x-a} \)

=  \( \lim\limits_{x\to\ a} \)  \( \frac{-1 * (g(a) + g(x))}{(x-a) * g(a) * g(x)} \)

=  \( \lim\limits_{x\to\ a} \)  \( \frac{-1}{g(a) * g(x)} \)        

Habe ich in einigen Schritten Fehler eingebaut?

Ab hier würde ich hier g'(a) rein multiplizieren aber wie kriege ich g(x) weg ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeige anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit f′(a) = − g′(a)/ (g(a))^2

Stichworte: ableitung,bruch,quotientenregel,innerer-punkt,differenzierbar

Aufgabe:

Sei g: D −→ R differenzierbar bei a, wobei a ∈ D innerer Punkt,
sei g(x) ̸= 0 für alle x ∈ D. Wir können dann die Funktion f: D −→ R mit f(x) = 1/ g(x) bilden.

Zeigen Sie anhand der Definition: f ist bei a differenzierbar mit f′(a) = − g′(a)/ (g(a))^2

Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass g bei a stetig (da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt! 

Vielen Dank im voraus.

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Wie genau ist die 2 am Schluss der Funktionggleichung gemeint?

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mit der 2 ist Quadrat gemeint

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Gut. Ist korrigiert.

anhand der Definition

Wie genau habt ihr das definiert?

h-Methode oder irgendwie anders?

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genau die h- Methode.

als Bemerkung wurde noch hinzugefügt, dass wir den Quotientenregel nicht anwenden sollen.

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Vom Duplikat:

Titel: Diffbarkeit von Funktionen

Stichworte: differenzierbarkeit

Hallo.

Wie löse ich diese Aufgabe?

Aufgabe \( 2 . \) Sei \( g: D \longrightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar bei \( a, \) wobei \( a \in D \) innerer Punkt, sei \( g(x) \neq 0 \) für alle \( x \in D . \) Wir können dann die Funktion \( f: D \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{1}{g(x)} \) bilden.
Tzeigen Sie anhand der Definition: \( f \) ist bei \( a \) differenzierbar mit
$$ f^{\prime}(a)=-\frac{g^{\prime}(a)}{(g(a))^{2}} $$
Hierbei müssen Sie in einem Schritt (unter anderem) benutzen, dass \( g \) bei \( a \) stetig (da differenzierbar) ist. Kennzeichnen Sie diesen Schritt!

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Vom Duplikat:

Titel: diffbarkeit von Funktionen Aufgabe

Stichworte: analysis

Aufgabe \( 3 . \) Zeigen Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 2: Die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{1}{x^{n}}(\text { wobei } n \in \mathbb{N}) \) ist differenzierbar mit \( f^{\prime}(x)=-\frac{n}{x^{n+1}} \)

 Hallo. Wie löst man diese Aufgabe?

Ergebnis von Aufgabe 2:

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Ergebnis von Aufgabe 2: fehlt

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Vom Duplikat:

Titel: Diffbarkeit von Funktionen aufgabe.

Stichworte: analysis

Aufgabe \( 3 . \) Zeigen Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 2: Die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{1}{x^{n}}(\text { wobei } n \in \mathbb{N}) \) ist differenzierbar mit \( f^{\prime}(x)=-\frac{n}{x^{n+1}} \)
Hallo. Wie löst man diese Aufgabe?
Ergebnis von Aufgabe 2:

\( \mathbf{a} \)

\( \frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{1}{h} \)
\( \left(\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h)}\right) \)
\( =\frac{1}{g(x) g(x+h)} \cdot \frac{g(x)-g(x+h)}{h}= \)
\( -\underbrace{\frac{1}{g(x) g(x+h)}}_{\rightarrow \frac{1}{g^{2}(x)}} \cdot \underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\rightarrow g^{\prime}(x)} \)
\( \rightarrow-\frac{g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)} \)

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Warum könnt ihr Fragesteller euch nicht mal daran halten zusammenhängende Fragestellungen auch immer zusammen zu veröffentlichen und nicht auseinander zu pflücken.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}\right)=\frac{1}{h}\cdot\left(\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x)\cdot g(x+h)}\right)$$$$=\frac{1}{g(x)g(x+h)}\cdot\frac{g(x)-g(x+h)}{h}=-\underbrace{\frac{1}{g(x)g(x+h)}}_{\to\frac{1}{g^2(x)}}\cdot\underbrace{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}_{\to g'(x)}$$$$\to-\frac{g'(x)}{g^2(x)}$$

Comments

ahh ich danke dir :)

Answer 2

Verwende den Beweis der Quotientenregel als Vorlage.

Übersetze das hier auf die h-Methode: https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenregel#Herleitung

Nun hast du u(x) = 1 konstant mit u'(x) = 0 und v(x) = g(x) mit g'(x) .

Alles im Link so übersetzen. Das wird dann kürzer als dort.

Comments

Achtung: Lysop hat wohl nicht die h-Methode benutzt.

Answer 3

(1/xⁿ)' = -nx^n-1/x²ⁿ = - nx^n-1-2n = -nx^-n-1 = - n/xⁿ⁺¹    laut Aufg. 2