Beweisen Sie: Es gilt genau dann g′(x) = g(x) für alle x∈[a, b], wenn...

Question

Es seien a, b ∈R, a < b, und g eine differenzierbare reelle Funktion auf [a, b].
Beweisen Sie: Es gilt genau dann g′(x) =g(x) für alle x∈[a, b], wenn es ein K ∈R gibt, so dass g(x) = Ke^x,für alle x∈[a, b].

Verstehe die Aufgabe leider gar nicht.

Answer 1

hallo

du sollst zeigen dass aus g(x)=K*e^x  folgt g'(x)=g(x) und dass das die einzige differenzierbare Funktion ist für die g'=g gilt

nimm an es gibt eine zweite funktion f=f' die sich von g nicht nur durch k unterscheidet. differenziere  f/g und stelle fest dass das wegen f'=f und g'=g  (f/g)'=0 also g/f konstant.

Gruß lul

Answer 2

"\(\Leftarrow\)" Ist \(g(x) = K\mathrm{e}^x\), dann ist \(g'(x) = K\mathrm{e}^x\) laut Ableitungsregeln und somit \(g'(x) = g(x)\).

"\(\Rightarrow\)" Sei \(x_0 \in (a,b)\), \(y_0\in \mathbb{R}\). Das Anfangswertproblem

        \(g'(x)=g(x)\qquad g(x_0)=y_0\)

ist laut des Satzes von Picard-Lindelöf auf \((a,b)\) eindeutig lösbar. Eine Lösung ist

        \(g(x) = \frac{y_0}{\mathrm{e}^{x_0}}\mathrm{e}^x\).