Wie lauten die Monotonieintervalle von f(x)?

Question

Gegeben ist f‘(x)= 3/4x^2-3x. Wie lauten die Monotonieintervalle von f(x)?

Ich weiß leider gar nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll.. Ich bin für jede Hilfe wirklich dankbar!

Answer 1

f‘(x)= 3/4x^2-3x

FEHLER !   s. Kommentare

==>  f ' (x) =3/2 x -3 ==>   f ' (x) >0 <=>   x>2

und f ' (x) < 0 <=>   x<2

Also ist f monoton fallend über ]-∞ ; 2 [ und steigend über ]2 ; ∞ [.

Comments

Muss man nochmals ableiten, wenn die erste Ableitung in der Aufgabenstellung schon gegeben ist?

---

Nein. MatheF hat hier einen kleinen
Fehler gemacht.

---

Stimmt, ich hatte den Strich übersehen. Trotz copy&paste

sollte man wohl auch in Ruhe lesen.

Answer 2

Du hast die Funktion einer Steigung
f ‘ ( x ) = 3/4 * x^2 - 3x
Jetzt mußt du nur nachschauen wo
f ´( x ) größer null ( steigend )
f ´( x ) kleiner null ( fallend ) ist

f ´( x )  > 0 ( steigend )
3/4 * x^2 - 3x > 0
x^2 - 4x > 0
x^2 - 4x + 2^2 > 4
( x - 2)^2 > 4

x - 2 > +2
x > +4
und
x - 2 < -2
x < 0

--------------------------------
f ´( x )  < 0 ( fallend )
3/4 * x^2 - 3x < 0
x^2 - 4x + 2^2 < 4
( x -2 )^2 < 4
x - 2 < + 2
x < 4
und
x - 2 > -2
x > 0

0 < x < 4

Comments

Geht mit der Punktprobe auch einfacher.
Wann ist die Steigungsfunktion null ?
f ‘ ( x ) = 3/4 * x^2 - 3x = 0
3/4 * x^2 - 3x = 0
x * ( 3/4 * x - 3 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
3/4 * x - 3 = 0
x = 4

x = 0 und x = 4 sind die Nullstellen
was ist bei x = 2 ?
Punktprobe
f ‘ ( 2 ) = 3/4 * 2^2 - 3*2
3 - 6 = -3

Zwischen 0 und 4 ist der Funktionwert
negativ. Die Steigung ist fallend.

Monotonie
-∞..0 = steigend
0..4 = fallend
4..+∞  = steigend