links-/rechtsseitige Annäherung an die Definitionslücke / Monotonieintervalle,

Question

Aufgabe: Gegeben die Funktion f(x)= (2x+4)  /  (2x-2)^3

1)
Untersuchen Sie das Verhalten bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Deflücke x=1

Mein Problem: ich habe einfach 1,1 und 0,9 genommen und eingesetzt.

Ich bekam 0 Punkte und die Bemerkung " saubere Untersuchung".

Wie schreibe ich das richtig hin ?

2) Bestimmen Sie die max. Monotonieintervalle und zeigen Sie, dass der Graph einen Tiefpunkt bei x=-5 hat.

Ich habe f' = (-4x - 20) / (2x - 2)^3     (müsste stimmen)

              f'=0 setzen → x=-5

mein Problem: wie zeige ich den max. Monotoniebereich

3) Geben Sie die Gleichung der waagrechten Asymptote an.

   Begründen Sie OHNE RECHNUNG, NUR AUF GRUNDLAGE DER BISHERIGEN ERGEBNISSE, ob sich der Graph für x-> minus unendlich von oben oder von unten an die waagrechte Asymptote annähert.

Problem :

Als waagrechte Asymptote habe ich die x-Achse y=0.

Wie zeige ich OHNE RECHNUNG... wie sich der Graph an die x-Achse nähert

Answer 1

1.)

\(f(x)=\frac{2x+4}{(2x-2)^3}\)

Pol bei \(x=1\)

Annäherung von rechts:

\(f(1+ε)=\frac{2(1+ε)+4}{[2(1+ε)-2]^3}=\frac{6+2ε}{[2ε]^3}=\frac{6+2ε}{8ε^3}\)

\( \lim\limits_{ε\to0}\frac{6+2ε}{8ε^3}→+∞ \)

Analog nun die Annäherung von links.

Answer 2

mein Problem: wie zeige ich den max. Monotoniebereich

Das Monotonieverhalten kann sich nur bei Extrempunkten ändern. Ein Intervall wird durch Definitionslücken unterbrochen. In welchen Bereichen ist der Graph laut deiner Ergebnisse dann also monoton wachsend und wann monoton fallend.

Wenn du das weißt, kannst du damit auch 3) beantworten, weil du weißt, ob der Graph wächst oder fällt. Dann nähert er sich nämlich entweder von unten oder von oben der Asymptote.