Links- und rechtsseitiger Grenzwert in Definitionslücke? F(x)=(x^4-3x^2+0,5x)/(2x^2)

Question

Aufgabe: Geben sie an für welches  x0 Elemend der reeleln Zahlen die Funktion nicht definiert ist. Untersuchen sie den Grenzwert lim x gegen x0 mit hilfe von linksseitiger und rechtsseitiger Testeinsetzung.

F(x)=(x^4-3x^2+0,5x)/(2x^2)

Kann mir jemand bitte helfen?

Comments

Einen Faktor x kannst du ja wegkürzen.

Answer 1

F(x)=(x⁴-3x²+0,5x)/(2x²) 

=( x³ - 3x + 0,5) / 2x

für die Definitionslücke x = 0 kannst du dann  ± 0,01 ; ± 0,001 ... 

"links und rechts 'testeinsetzen' "

Du kannst aber auch die h-Methode anwenden und die (uneigentlichen) GW

lim[x->0^-) = ∞ und lim[x->0⁺ ] = - ∞ ausrechnen

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Ich komme aber auf untypische Werte... Irgedwie klappt das nicht

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Die unendlichen Grenzwerte haben vertauschte Vorzeichen!  (vgl. Antwort 2 von Lu)

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Aber wie berechne ich dies ausführlich?

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die h-Methode vereinfacht die Übersicht nur für x≠0

Hier gehst du so vor:

lim [ x->0⁺ ]  (( x³ - 3x + 0,5) / (2x )) = lim[ x->0⁺ ]  ( 0,5 / 2x ]    [im Zähler kannst du einfach 0 für x einsetzen, falls dann nicht 0 herauskommt, deshalb haben wir vorher durch x gekürzt]

= " 0,5/ (Nenner->0) "  [ Konstante / (Nenner->0) strebt immer gegen ±∞]

= ∞ weil der Nenner positiv ist.

lim [ x->0^- ]   (( x³ - 3x + 0,5) / (2x ))  =  lim[ x->0⁺ ]  ( 0,5 / 2x ]

= " 0,5/ (Nenner->0) "

= - ∞ weil der Nenner negativ ist.

Answer 2

Definitionslücke xo = 0 .

Wenn du nun Werte in der Nähe von 0 einsetzt, solltest du feststellen, dass rechts von 0 grosse positive Werte rauskommen. Links von 0 aber negative Werte.

Also Grenzwert von rechts ist + unendlich

und Grenzwert von links ist - unendlich.

Kontrolle am Graphen:

~plot~(x^4-3x^2+0,5x)/(2x^2) ~plot~

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Dankeschön:)

Und wie kann ich dies nun rechnerisch darstellen?

Ich habe es schon mit  der 1/n Methode probiert komme aber auf kein gutes Ergebnis bzw. nicht mal annähernd auf unendlich

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+%28x%5E%284%29-3x%5E2%2B0%2C5x%29%2F%282x%5E2%29%2C+x+%3D+0.0001%2C+y+%3D+%3F

ist doch schon ein recht grosses y, rechts von x=0.

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so kannst du es z.B. aufschreiben:

lim_x->0⁺ (x³ - 3x +0,5) / 2x = "(0³ - 3•0 +0,5) / (2 • 0⁺)" = " 0,5 / 0⁺ " -> ∞

lim_x->0^- (x³ - 3x +0,5) / 2x = "(0³ - 3•0 +0,5) / (2 • 0^-)" = " 0,5 / 0^- " -> - ∞

Die Anführungsstriche sind hier notwendig, da du bei lim, eigentlich nicht einfach einsetzen darfst. Es dient also nur zum Nachvollziehen deiner Überlegung.

lg

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Danke schön, aber dies ist doch nicht wirklich. Ein mathematisch korrekte Weg oder?

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Weil ich glaube, das ist nicht ausführlich genug, damit ich nicht mathematisch begabter Mensch das verstehe

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Ich persönlich finde es schöner, wenn man es wie auf dem Bild schreibt.

Ich weiß, dass es zumindest in den mir bekannten Gymnasien oft so wie oben geschrieben wird.

Wichtig ist, dass du Zähler und Nenner einzeln betrachtest und dann daraus deine Schlussfolgerung ziehst. 

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In der Fragestellung steht "mit hilfe von linksseitiger und rechtsseitiger Testeinsetzung."

Da ist keine mathematisch korrekte Grenzwertbildung verlangt. Einsetzen von Zahlen nahe 0 genügt. 

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Das habe ich überlesen, dann reicht es selbstverständlcih wenn du wirklich nur einsetzt!

Answer 3

F(x)=(x⁴-3x²+0,5x)/(2x²) 

Zur Vereinfachung des Funktionsterme bin ich dafür von Anfang an
durch 2*x^2 zu teilen .

Der Wert für x ist noch nicht 0 sondern sondern lim x −> 0(-) oder
lim x −> 0(+). Es darf noch geteilt werden. Und es  gilt

lim x −> 0(-)  a / x = -∞
lim x −> 0(+)  a / x = +∞

lim x −> 0(-)  [  0.5 * x^2 - 3  + 0.25 / x ] = 0 - 3 - ∞ = - ∞
lim x −> 0(+)  [  0.5 * x^2 - 3  + 0.25 / x ] = 0 - 3 + ∞ = + ∞

Comments

Beim Überfliegen der Antworten habe ich gedacht der Fragesteller
hätte gern den exakten mathematischen Beweis.

Gefordert ist aber nur :
Untersuchen sie den Grenzwert lim x gegen x0 mit hilfe von
linksseitiger und rechtsseitiger Testeinsetzung.

Hier die Vorgehensweise
F(x)=(x⁴-3x²+0,5x)/(2x²) 

x = 0.1
F(0.1) = (0.1⁴ - 3*0.1² + 0,5*0.1)/(2*0.1²)  = ( 0.00001 - 0.03 + 0.05 ) / 0.02
F(0.1) = 1.005

F(0.01) = (0.01⁴ - 3*0.01² + 0,5*0.01)/(2*0.01²) 
F(0.01) = 23.5

F ( 0.001 ) = 248.5
F ( 0.0001 ) = 2498.5

Je näher an x0 = 0 desto größer werden die Werte.

Dasselbe wird von links mit x = -0.1  auch durchgeführt.