Matrixdarstellung mit dem Basiswechselsatz

Question

Aufgabe:

Es sei f : R³ -> R² gegeben durch f(x, y, z) = (x + y, 2z-x).

Weiter seien die Basen

\( B=\left(\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)\right), B^{\prime}=\left(\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0} \\ {-1}\end{array}\right)\right) \)

und die Basen

\( C=\left(\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right)\right) \) und \( C^{\prime}=\left(\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1}\end{array}\right)\right) \)

von R² gegeben.

(a) Berechnen Sie die Matrixdarstellung C[f]B.

(b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung C0[f]B' mit dem Basiswechselsatz.

Welche Basiswechselmatrizen werden dafür benötigt?

Mit dem Rechner komme ich nicht weiter.

Comments

Hat jemand Ahnung wie das mit dem Teil b) aussieht? Ich habe Basiswechsel und Matrixdarstellung verstanden, weiß aber nicht wie ich das in b) anwenden soll.

Answer 1

Für die Matrix CfB brauchst du die Bilder  der

Vektoren von B und stellst sie mit C dar, also

f( (1;0;-1)^T ) = ( 1-1 ; -2-1 ) = ( 0 ; -3 )

Mit C dargestellt

-3*(0;1)^T + 0*(1;0)^T

und die beiden roten Faktoren bilden die erste Spalte

der gesuchten Matrix.

Die sieht also so aus

-3   ?   ?  
0    ?    ?

mitz dem 2. und 3. Basisvektor von B erhältst du die

anderen ? .

Comments

Wie kommst du bei der ersten Rechnung von f((1;0;-1)^T) = (1-1; -2-1).

Ich komme da auf f((1;0;-1)^T) = (1+0; -2-1) = (1;-3), was übersehe ich da?

MfG

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Du hast recht, ich hatte da y und z verwechselt.

Dann bekommst du natürlich auch später

(1;-3) = -3*(0;1)T + 1*(1;0)T    also

-3   ?     ?
1    ?     ?