Bestimmen Sie jeweils eine Matrixdarstellung der Abbildungen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie jeweils eine Matrixdarstellung der Abbildungen. Berechnen sie dann auch die Matrixdarstellung der verketteten Abbildung. Führen sie die Abbildungen mit dem Dreieck ABC mit A(0/1), B(2/1) und C(2/4) durch. Beschreiben sie diese Abbildung geometrisch.

a) Erst um den Ursprung (0/0) um 45* drehen und dann an der Geraden g: x= t• \( \begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix} \) spiegeln.

b) Erst eine Streckung von 0 aus um den Faktor 2 und dann eine Spiegelung an der x2-Achse durchführen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau was ich hier alles machen soll. Es sind so viele Aufgaben, dass ich nicht den Überblick behalten. Kann mir jemand bitte die einzelnen Schritte mit Ansätzen erklären. Das Grundprinzip von verketteten Abbildungen habe ich verstanden.

Answer 1

a) Für die Matrix musst du nur die Bilder der Basisvektoren bestimmen :

Bei "Erst um den Ursprung (0/0) um 45* drehen" bedeutet das

Bild von \( \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} \)  ist \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \)

Bild von \( \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \)  ist \( \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \)

Also die Matrix:   \(A= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \).

"an der Geraden g: x= t• \( \begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix} \) spiegeln." gibt

Bild von \( \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} \)  ist \( \begin{pmatrix} 0\\-1\end{pmatrix} \)

Bild von \( \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix} \)  ist \( \begin{pmatrix} -1\\ 0\end{pmatrix} \)

Matrix: \(B= \begin{pmatrix} 0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \)

Erst A dann B gibt die Matrix der Verkettung  \(B*A= \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}} \\\frac{-1}{\sqrt{2}} &\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \).

Answer 2

Aloha :)

Du kannst die beiden linearen Abbildungen für (a) und (b) jeweils als Matrix ausdrücken. In die Spalten der Matrix schreibst du die Bilder der Basisvektoren. Wir überlegen uns also zuerst, was die jeweilige Transformation mit den Basisvektoren macht.

zu a) Drehung \(45^\circ\) um den Ursprung, gefolgt von Spiegeleung an \(g\colon\vec x=t\binom{1}{-1}\)

Die angegebene Spiegelungsgerade entspricht der Gerden \((y=-x)\), denn:$$g\colon\binom{x}{y}=t\cdot\binom{1}{-1}=\binom{t}{-t}\implies x=t\;\land\,y=-t\implies y=-x$$

Die Drehung des Basisvektors \(\binom{1}{0}\) um \(45^\circ\) nach links ergibt \(\binom{\cos45^\circ}{\sin45^\circ}\).

Dieser gedrehte Vektor steht auf der Spiegelungsgeraden \((y=-x)\) senkrecht. Wenn wir ihn spiegeln, ändern beide Koordinaten ihr Vorzeichen:

$$\binom{1}{0}\to\binom{\cos45^\circ}{\sin45^\circ}\to\binom{-\cos45^\circ}{-\sin45^\circ}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}\\-\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}$$

Die Drehung des Basisvektors \(\binom{0}{1}\) um \(45^\circ\) nach links ergibt \(\binom{-\cos45^\circ}{\sin45^\circ}\).

Die Spiegelung an der Geraden \((y=-x)\) macht nichts mehr mit unserem gedrehten Basisvektor, weil dieser auf der Spiegelgeraden liegt.

$$\binom{0}{1}\to\binom{-\cos45^\circ}{\sin45^\circ}\to\binom{-\cos45^\circ}{\sin45^\circ}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}\\+\frac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}$$

Die Transformationsmatrix für die gesamte Abbildung ist also:$$A=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{rr}-1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$

zu b) Streckung um Faktor \(2\), danach Spiegelung an der \(y\)-Achse.

Bei der Spiegelung an der \(y\)-Achse ändert die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen, daher ist klar, wie sich die beiden Basisvektoren transformieren:

$$\binom{1}{0}\to\binom{2}{0}\to\binom{-2}{0}\quad;\quad\binom{0}{1}\to\binom{0}{2}\to\binom{0}{2}$$

Das führt zu folgender Transfomrationsmatrix:$$B=\left(\begin{array}{rr}-2 & 0\\0 & 2\end{array}\right)$$

Durchführung der Transformation

Nun kannst du das Dreieck transformieren:

$$A\cdot\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\1 & 1 &4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{3}{\sqrt2} & -\frac{6}{\sqrt2}\\[1ex]\phantom-\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt2} & \phantom-\frac{2}{\sqrt2}\end{pmatrix}$$$$B\cdot\begin{pmatrix}0 & 2 &2\\1 & 1 &4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -4 & -4\\2 & \phantom-2 & \phantom-8\end{pmatrix}$$