Determinanten Berechnung - etw. ist falsch

Question

Kann mir jemand bitte (!) sagen, was ich an dieser Determinanten Berechnung falsch gemacht habe?

Ich weiß, es gibt versch. Wege, Determinanten zu berechnen, ich habe mich allerdings für eine Dreiecksgestalt entschieden.

Wenn ich die Diagonalen multipliziere, komme ich auf (-1)*4*5*4/5 = 16. Die Lösung ist allerdings -4!

Ich bin echt am Verzweifeln, was ich falsch gemacht habe.

Wenn ich Reihen vertausche, dann kann sich die Determinante ändern. Ich habe die Reihen aber zweimal vertauscht. Vielleicht ist das der Fehler?

Answer 1

Es ist fast alles richtig. Hier ist der korrigierte fehlerhafte Schritt:

$$\det \begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&4&1&4\\0&2&3&5\\0&2&1&3\end{pmatrix} = {\color{blue}{\frac 14}}\det \begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&4&1&4\\0&\color{blue}{4}&\color{blue}{6}&\color{blue}{10}\\0&\color{blue}{4}&\color{blue}{2}&\color{blue}{6}\end{pmatrix}$$

Beim Vertauschen der Zeilen hast du das Vorzeichen korrekt geändert.

Jetzt nochmal hypergenau aufgrund spezifischer Nachfragen:

$$\det \begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&4&1&4\\0&2&3&5\\0&2&1&3\end{pmatrix} = {\color{blue}{\frac 14 \cdot 2\cdot 2}}\cdot\det \begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&4&1&4\\0&2&3&5\\0&2&1&3\end{pmatrix}$$

$$={\color{blue}{\frac 14}}\det \begin{pmatrix}-1&1&0&0\\0&4&1&4\\0&\color{blue}{4}&\color{blue}{6}&\color{blue}{10}\\0&\color{blue}{4}&\color{blue}{2}&\color{blue}{6}\end{pmatrix}$$

Jede der beiden Zeilen erhält einen Faktor 2.

Comments

Warum 1/4? 2 mal 2 ist doch 4?

Oder kann es sein, dass ich das Gegenteil nehmen muss? Also wenn ich außen 2-mal eine "mal 2" schreibe, dass ich dann 2-mal "durch 2" nehmen muss (ist ja das gleiche wie einmal 1/4).

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Multlipliziert man eine Zeile (bzw Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante mit λ

Das kann also so nicht stimmen, was ich vermutet habe. Irgendwas übersehe ich also noch..

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@ melihtozlu
Ich schreib's nochmal genauer in meine Antwort.
Aber ich empfehle, doch mal die Rechenregeln für Determinanten anzuschauen, bevor du einfach drauflosrechnest.

Answer 2

Hallo,

zur Determinantenbestimmung kann nicht viel sagen, aber ich habe einen Rechner bemüht und die Schritte werden dir hoffentlich weiterhelfen. Wenn ich das richtig verstanden habe, kann man die Dreiecksform nur für 3x3-Matrixen anwenden.

1. Schritt, vertauschen, richtig.

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)

Dann

Zeile 1 und Zeile 3 addieren

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)

Das Zweifache von Zeile 1 zur 4. Zeile addieren:

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)

Zur 3. Zeile das Zweifache der 2. addieren

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)

2. und 4. Zeile addieren

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{matrix}\right)\)

3. Zeile mit \(- \frac{2}{5} \) multiplizieren und zur 4. addieren

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{5} \end{matrix}\right)\)

\((-1)\cdot (-2)\cdot (-5)\cdot \frac{2}{5}=-4\)

Gruß, Silvia

Comments

1. Schritt, vertauschen, richtig.

Wie man sieht, wurden bei einer Zeile die Vorzeichen vertauscht, damit die Determinante beim Vertauschen der Zeilen richtig bleibt.

Answer 3

Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen) so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.

Da du das zweimal gemacht hast, ist die Determinante also wieder richtig.

Bei Multiplizieren einer Zeile mit einem Faktor, wird auch die Determinante um diesen Faktor großer.

Du hast zweimal mit 2 Multipliziert und damit ist deine Determinante dann 4 mal so groß.

Warum addierst du nicht die 2. Zeile zur dritten und zweimal die 2. Zeile zur Vierten hinzu und entwickelst dann nach der ersten Spalte. Dann brauchst du nur die Regel von Sarrus benutzen.

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Hier meine Vorgehensweise

$$det\begin{pmatrix} 0&2&3&5 \\ -1&1&0&0 \\ 1&3&1&4 \\ 2&0&1&3 \end{pmatrix} \newline \text{III + II ; IV + 2*II} \newline = det\begin{pmatrix} 0&2&3&5 \\ -1&1&0&0 \\ 0&4&1&4 \\ 0&2&1&3 \end{pmatrix} \newline \text {Nach erster Spalte entwickeln.} \newline = det\begin{pmatrix} 2&3&5 \\ 4&1&4 \\ 2&1&3 \end{pmatrix} \newline = 2 \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 2 + 5 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 5 - 1 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot 4 \cdot 3 \newline = 6 + 24 + 20 - 10 - 8 - 36 \newline = - 4$$

Man hätte auch noch geschickter die 2. Spalte zur 1. addieren können und dann nach der 2. Zeile entwickeln können.

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Du hast zweimal mit 2 Multipliziert und damit ist deine Determinante dann 4 mal so groß.

Okay, das würde ja dann bedeuten, dass alles richtig ist, nur eben, dass ich am Ende eine vier vor die Multiplikation der Diagonalen schreiben muss. Also 4 mal (-1)*4*5*4/5. Das ist dennoch nicht -4.

Warum addierst du nicht die 2. Zeile zur dritten und zweimal die 2. Zeile zur Vierten hinzu und entwickelst dann nach der ersten Spalte. Dann brauchst du nur die Regel von Sarrus benutzen.

Regel von Sarrus würde ich sehr gerne benutzen wollen, allerdings geht das ja leider bei einer 4x4 Matrix nicht. Den Laplaceschen Entwicklungssatz haben wir ungünstigerweise auch nicht behandelt.