Hallo,
zur Determinantenbestimmung kann nicht viel sagen, aber ich habe einen Rechner bemüht und die Schritte werden dir hoffentlich weiterhelfen. Wenn ich das richtig verstanden habe, kann man die Dreiecksform nur für 3x3-Matrixen anwenden.
1. Schritt, vertauschen, richtig.
\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)
Dann
Zeile 1 und Zeile 3 addieren
\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)
Das Zweifache von Zeile 1 zur 4. Zeile addieren:
\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)
Zur 3. Zeile das Zweifache der 2. addieren
\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right)\)
2. und 4. Zeile addieren
\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{matrix}\right)\)
3. Zeile mit \(- \frac{2}{5} \) multiplizieren und zur 4. addieren
\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{5} \end{matrix}\right)\)
\((-1)\cdot (-2)\cdot (-5)\cdot \frac{2}{5}=-4\)
Gruß, Silvia