Reihe Umformung zeigen?

Question

Kann mir bitte jemand erklären warum die Gleichheit gilt?

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}+(-\lambda)^{k}}{2 k !}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{2 k}}{(2 k) !} \)

Answer 1

Für alle ungeraden K's kürzt sich das Lamda weg und der summand wird somit 0. Damit reicht es alle Geraden k's zu betrachten. Damit werden aber beide lamdas addiert zu 2*lamda hoch k. Damit kürzt sich die 2 mit der 2 bei 2k! Weg. Wenn du entsprechend dann alle Geraden K's betrachtest, Setzt du dann 2k für k ein und somit hast du die Umformung

Answer 2

Es gilt

\(1 + (-1)^k =\left\{ \begin{array}{cl}0 & k\: ungerade\: (k=2n+1)\\2 & k\: gerade \: (k=2n)\end{array}\right.\)

In deiner Gleichung wird \(k\) auf beiden Seiten in verschiedenen Bedeutungen benutzt. Das kann verwirrend sein. Ich benutze daher einen weiteren Index:

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}+(-\lambda)^{k}}{2 \cdot k !}= \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(1+(-1)^k)\lambda^{k}}{2 \cdot k !} \stackrel{\stackrel{k=2n+1}{k=2n}}{=} \)

\(\sum \limits_{\color{blue}{n=0}}^{\infty} \frac{  \overbrace{(1+(-1)^{\color{blue}{2n}})}^{=2} \lambda^{\color{blue}{2n}}}{2 \cdot (\color{blue}{2n}) !} + \sum \limits_{\color{blue}{n=0}}^{\infty} \frac{ \overbrace{(1+(-1)^{\color{blue}{2n+1}})}^{=0} \lambda^{\color{blue}{2n+1}}  }{2 \cdot (\color{blue}{2n+1}) !} =\)

\(\sum \limits_{\color{blue}{n=0}}^{\infty} \frac{ { \color{blue}{2}} \cdot\lambda^{\color{blue}{2n}}}{2 \cdot (\color{blue}{2n}) !} + 0 =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{2 n}}{(2 n) !} \)

Jetzt kannst du gern das \(n\) wieder durch \(k\) ersetzen.