Hallo,
Das ist im Wiki relativ gut beschrieben. Und dies ist eine wenig eine Fleißaufgabe ... ich fange mal hinten an:
Geben Sie die folgenden Quadriken in Matrixdarstellung an: f) (X+Y-1).(Y-Z-2)=0
Gesucht ist die Quadrik in der Form $$\vec x^T A \vec x + 2\vec b^T \vec x + c = 0, \quad \vec x = \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$$Natürlich kann man das zunächst ausmultiplizieren. Eine Alternative ist aber folgendes$$\vec x_h = \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{pmatrix}\\ x+y-1 = \vec x_h^T \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}, \quad y-z-2 = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ -2\end{pmatrix}^T \cdot \vec x_h$$Einsetzen in die Gleichung \((x+y-1)(y-z-2)=0\) gibt$$\begin{aligned} \vec x_h^T \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ -2\end{pmatrix}^T \cdot \vec x_h &=0 \\ \vec x_h^T \cdot \begin{pmatrix}0& 1& -1& -2\\ 0& 1& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 1& 2\end{pmatrix} \cdot \vec x_h &=0\end{aligned}$$Die entstandene Matrix ist das dyadische Produkt der beiden obigen Vektoren. Die forme ich noch etwas um$$\begin{pmatrix}0& 1& -1& -2\\ 0& 1& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 1& 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A'& \vec b_1\\ \vec b_2^T& c\end{pmatrix}$$Die gesuchte Matrix \(A\) muss symmetrisch sein und gegenüber \(A'\) müssen die 'gegenüberliegenden' Werte in der Matrix gleich sein und ihre Summe muss identisch zu der in \(A'\) sein. Somit wird aus$$A' = \begin{pmatrix}0& 1& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{pmatrix} \to A = \begin{pmatrix}0& 0.5& -0.5\\ 0.5& 1& -0.5\\ -0.5& -0.5& 0\end{pmatrix}$$und \(\vec b\) ist $$\vec b = \frac 12(\vec b_1 + \vec b_2) = \frac 12\left( \begin{pmatrix}-2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}-1\\ -1.5\\ 0.5\end{pmatrix}$$ \(c\) braucht man nur ablesen. Und alles zusammen ist$$(x+y-1)(y-z-2) = \vec x^T \begin{pmatrix}0& 0.5& -0.5\\ 0.5& 1& -0.5\\ -0.5& -0.5& 0\end{pmatrix} \vec x + 2\begin{pmatrix}-1\\ -1.5\\ 0.5\end{pmatrix}^T \vec x + 2 = 0$$
e) X(Y-Z)+1/2 (X-Y)+3=0
Hier zeige ich das gleiche mit Ausmultiplizieren$$\begin{aligned} x(y-z) + \frac 12(x-y) + 3 &= 0 \\ xy - xz + \frac12x - \frac 12 y + 3 &= 0 \\ 0x^2 + \frac 12xy - \frac 12 xz + \frac12 yx + 0y^2 + 0yz - \frac12 zx + 0zy + 0z^2 \\ + 2\left( \frac14x -\frac14 y + 0z \right) \\ +3 &= 0 \\ \vec x^T \begin{pmatrix}0& 0.5& -0.5\\ 0.5& 0& 0\\ -0.5& 0& 0\end{pmatrix} \vec x + 2\begin{pmatrix}0.25\\ -0.25\\ 0\end{pmatrix} \vec x + 3 &= 0\end{aligned}$$Versuche die anderen bitte alleine zu lösen. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner (PS.: Feedback erwünscht)
