Mathe Vektoren hilfe

Question

Aufgabe:

Skalarprodukt

a. Bestimme einen Vektor (der nicht der Nullvektor ist), der zu den beiden Vektoren \( \left(\begin{array}{l}{3} \\ {3} \\ {3}\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{l}{2} \\ {0} \\ 1 \end{array}\right) \) rechtwinklig ist.

b. Berechne den Winkel zwischen dem Vektor \( \left(\begin{array}{c}{-3} \\ {0} \\ {4}\end{array}\right) \) und seinem entgegengesetzten Vektor \( \left(\begin{array}{c}{3} \\ {0} \\ {-4}\end{array}\right) \)

c. Gib die Gleichung zweier Geraden an, die sich im Punkt P(3 \( |1| 4 \) ) rechtwinklig schneiden.

d. Bestimme alle vektoren, die zu \( \left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) \) rechtwinklig sind und die Lange 7 haben.

III - Ebenen

Zwei Skifahrer fahren auf derselben Skipiste. Die Piste ist so glatt, dass sie als Ebene P angenommen werden kann. Die Skifahrer fahren die Geraden \( \mathbf{g} \) und \( \mathbf{h} \) entlang. \( \mathrm{g}: \overrightarrow{\mathrm{x}} = \left(\begin{array}{c}{-22} \\ {-1} \\ {19}\end{array}\right)+\mathrm{k}\left(\begin{array}{c}{12} \\ {1} \\ {-3}\end{array}\right) \quad \mathrm{h}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{r}{11} \\ {-41} \\ {25}\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}{-3} \\ {14} \\ {-4}\end{array}\right) \)

a. Überprüfe, ob sich die Skifahrer auf ihren aktuellen Routen treffen könnten.

b. Untersuche, ob sich die Skifahrer tatsächlich treffen werden, wenn jeder in der Position des zu ihm gehörenden Stützvektors startet und innerhalb von drei Sekunden einmal den zu ihm gehörenden Richtungsvektor zurücklegt.

c. Ermittle, weicher Skifahrer schneller ist.

d. P ist die Ebene, auf der sich beide Skifahrer befinden. Weise nach, dass die Vorschrift \( \quad \mathrm{P}: 2 x+3 y+9 z=124 \) eine korrekte Koordinatengleichung der Ebene P darstellt.

Answer 1

Leider schreibst du nicht wo deine Schwierigkeiten liegen bzw. was du selber machen kannst.

Hier meine Lösung für a) und b).

a)

[3, 3, 3]·[a, b, c] = 0 → a + b + c = 0
[2, 0, 1]·[a, b, c] = 0 → 2·a + c = 0

Mit c = -2 als Freiheitsgrad ergibt sich:
2·a + (-2) = 0 → a = 1
(1) + b + (-2) = 0 → b = 1
[a, b, c] = [1, 1, -2]

Alternativ kann das Kreuzprodukt verwendet werden.

[3, 3, 3] ⨯ [2, 0, 1] = [3, 3, -6] = 3·[1, 1, -2]

b)

Der Winkel zwischen einem Vektor und seinem Gegenvektor sollte immer 180 Grad sein. Das darf man sicher auch ohne Rechnung wissen.

Rechnerisch nimmt man die Winkelformel für zwei Vektoren
α = ACOS([-3, 0, 4]·[3, 0, -4]/(|[-3, 0, 4]|·|[3, 0, -4]|)) = 180°

Answer 2

II Skalarprodukt

c) Der Punkt P(3|1|4) soll auf beiden Geraden liegen. Dann nehmen wir \(\overrightarrow{OP}\) als Ortsvektor beider Geraden.

\(g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix} + r\vec{u}\)  ;  \(g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix} + s\vec{v}\)

Die Geraden sollen einen rechten Winkel einschließen. Das bedeutet, dass ihr Skalarprodukt gleich Null sein muss. Am einfachsten finde ich \(\vec u= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \quad;\quad\vec v = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \).

Also:

$$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \qquad g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\1\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $$

zu d) Die beiden gegebenen Vektoren zeigen in Richtung der x-Achse, bzw. y-Achse. Dann müssen die gesuchten Vektoren in Richtung der ... zeigen, d.h. die x- und y-Koordinaten müssen 0 sein. Da sie die Länge 7 haben sollen, gibt es nur zwei Möglichkeiten für die z-Koordinate, nämlich +7 und -7..