Algebraische Strukturen

Question

a) Zeigen Sie: Die Abbildung

    G x G → G

    (a,b)   ↦ a • b • a^-1

    definiert eine Operation von G auf G von links, die Konjugation.

b) Die Bahn von b ∈ G 

    b^G := {a • b • a^-1 | a ∈ G}

    heißt Konjugationsklasse von b. Bestimmen Sie alle Konjugationsklassen der S₃.

Kann jemand die vollständige Lösung? Bin am verzweifeln.

Answer 1

Hey

TUKL? :)

Bin ich auch grade am lösen zufällig

Bei der a) musst du zeigen die beiden Eigenschaften einer Operation beweisen:

(i) (e, x) ↦ e • x • e^-1 = x

(ii) ((g•h), x) = (g, (h•x))

zu (ii) also muss (gh) • x • (gh)^-1 = g • (h • x • h^-1) • h^-1

Also diese beiden Sachen müssen gelten

Bei der b) kann ich dir im Moment leider auch nicht helfen

Comments

Genau TU KL

Danke dir :)

Answer 2

G x G → G,   (a,b)  ↦ a • b • a^-1  genannt Konjugationsoperation von links

Betrachte dies für eine fixes a: Dann geht die Abb nur noch von G nach G:

G → G,  b  ↦ a • b • a^-1 genannt Konjugation

S₃ = {\( \begin{pmatrix} 1 & 2& 3 \\ 1 & 2& 3 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1 & 2& 3 \\ 1 & 3& 2 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1 & 2& 3 \\ 2 & 1& 3 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1 & 2& 3 \\ 2 & 3& 1 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1 & 2& 3 \\ 3 & 1& 2 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 1 & 2& 3 \\ 3 & 2& 1 \end{pmatrix} \) }

      ={(),(23),(12),(123),(132),(13)} = {(),(12),(13),(23),(123),(132)}

a=(23), b=(123)

Dann ist ab=(23)(123)=(13)    1→2→3,  2→3→2, 3→1→1

ab²=(23)(123)(123)=(12)        1→2→3→2,  2→3→1→1, 3→1→2→3

b²=(123)(123)=(132)               1→2→3,  2→3→1, 3→1→2

e=() das neutrale Element

S₃={e,a,ab,ab²,b,b²}

 Bahn  b^G := {x • b • x^-1 | x ∈ G}

ebe^-1=e(123)e^-1=(123)=b, aba^-1=a(123)a^-1=aba=(213) =(132)=b², ab(123)(ab)^-1 = ab²ab=(12)(13)=(132)=b²

ab²b(ab²)^-1=(12)(123)(12)=(132)=b², b²b(b²)^-1=b²bb²=(132)(123)(132)=(132)=b², bbb^-1=b

 Bahn: b^G= (123)^G := {x • (123) • x^-1 | x ∈ G} = {b,b²}

eae^-1=a, aaa^-1=a³= (23) (23) (23)=(23)=a, bab^-1=bab= (123)(23)=(12)=ab², aba(ab)^-1 = aba²b=(13) (23) (13)=(12)=ab²

ab²a(ab²)^-1=(12) (23)(12)=(13)=ab, b²a(b²)^-1=b²ab²=(132)(12)=(23)=a

 Bahn:  a^G=(23)G := {x • (23) • x^-1 | x ∈ G} = {a,ab,ab²}

x()x^-1=() 

Bahn ()G := {x • () • x^-1 | x ∈ G} = {()}

Das soll wohl heißen: In der Gruppe S₃ gibt es 3 Bahnen (= Äquivalenzklassen). Die Gruppe wird also disjunkt zerlegt mit den 3 Repräsentanten e,a,b. Sehr abgefahren!

Comments

Reicht das als Erklärung?