Algebraische Struktur überprüfen und angeben, ob es sich um eine Gruppe, Halbgruppe oder Monoid handelt

Question

Aufgabe: Algebraische Struktur überprüfen und angeben, ob es sich um eine Gruppe, Halbgruppe oder Monoid handelt

Problem:

Gegeben sei folgende Verknüpfung:

(R^2 (rationale Zahlen quadriert; müsste ein Vektorraum sein), #)

mit (x1,x2)#(y1,y2)=(x1,y2)

Ansatz:

Zunächst fällt auf dass sowohl neutrales als auch inverse Elemente gegeben sind

x2#y1=e (neutrales Element)

x2 zu y1 ist inverses Element

Abgeschlossenheit ist ebenfalls gegeben:

x1,x2,y1,y2 sind Elemente der quadrierten rationalen Zahlen

(x1,x2)#(y1,y2)=(x1,y2) ebenfalls Elemente der quadrierten rationalen Zahlen

Bei Assoziativität bin ich mir nun unsicher. Ich müsste ja jetzt prüfen (x#y)#z=x#(y#z)

Leider bin ich diesbezüglich überfragt.

Answer 1

Abgeschlossenheit ✓

neutrales Element e = (e1,e2)  [ Die Elemente sind ja alles Paare ! ]

müsste eines sein, für das gilt x#e = e#x = x

also genauer

(x1,x2) # (e1;e2) = (x1,x2)

==>   ( x1 , e2) = ( x1,x2 )

also müsste jedenfalls e2=x2 sein, und das für

alle x, also geht das nicht.

Wo kein neutrales, da kein inverses.

ass:   (x#y)#z=x#(y#z) ist ein guter Ansatz, aber

jetzt wieder bedenken: Paare!

( (x1,x2) # (y1,y2) ) # ( z1;z2) =  (x1,x2) #  ( (y1;y2)  # ( z1;z2) )

<=>   ( x1 ; y2)  # ( z1;z2) =  (x1,x2) #  ( (y1;z2) )

<=>  ( x1 ; z2)  =  (x1;z2)    ✓   Also assoziativ !

Comments

Vielen Dank.

Ich habe mich zu sehr durch den Vektorraum ablenken lassen. Das mit den Paaren ist selbstverständlich nachvollziehbar, jetzt wundere ich mich das nicht sofort gesehen zu haben:)

Kommutativität würde ich dann folgendermaßen überprüfen:

(x1,x2)#(y1,y2)=(y1,y2)#(x1,x2)

(x1,y2)=(y1,x2)

Struktur ist nicht kommutativ!

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Ja genau, vielleicht musst du sogar ein

konkretes Gegenbeispiel angeben, etwa

(1;2) # (3;4)  ist

verschieden von (3;4) #(1;2) .

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Mir fällt gerade auf, dass ich selbstverständlich das kartesische Produkt der reelen Zahlen als Vektorraum meinte...ja, da muss ich noch ein bisschen aufpassen:)