Ist es eine Halbgruppe und Abelsche Gruppe?

Question

Aufgabe:

Geben Sie für die folgenden Strukturen an, ob sie (Halb-)gruppen sind und ob sie abelsch sind.
(a) (Q, +)
(b) (Z₈, ·)
Hinweis: Erstellen Sie erst die Multiplikationstafel in Z8

Problem/Ansatz:

Bei der (b) habe ich aufjedenfall kein Inverse also wenn man "Multiplikationstafel" sich anschauen würde, haben wir bei 2,4,6 kein Inverse.

- Assoziativität hat es.

- Abgeschlossenheit haben wir auch aufjedenfall.

- Neutrales Element ist e=1 ?

Also meiner Meinung nach ist die (b) eine Halbgruppe, aber keine Abelsche Gruppe.

Stimmt das, was ich bei der (b) habe?

Bei der aufgabenteil (a) weiß ich gar nicht wie ich es machen soll.. kann mir da jemand helfen ?

Answer 1

b ist ok. Ist nur eine Halbgruppe, aber abelsch ist es schon , weil kommutativ.

Bei a sind es die Elemente von Q, also alles was sich als Bruch mit

ganzzahligem Zähler und einer natürlichen Zahl asl Nenner schreiben läßt.

Das ist bzgl. + eine abelsche Gruppe.