Flächeninhalt zwischen 2 Graphen. a.) f:x → x^4-x^3 und g:x → 1-x

Question

Hallo alle zusammen ich bräuchte für eine Hausaufgabe bitte folgende Lösung zu der Frage:

Wie groß ist der Flächeninhalt den die folgenden Graphen einschließen?

a.) f:x → x^4-x^3  und g:x → 1-x

b.) f:x→ 4/x^2 - 5 und g:x → -x^2   mit Df = R

vielen Dank.

Answer 1

hi

a)
schnittstellen bestimmen

x^4 - x^3 = 1 - x
x^4 + x - x^3 -1 = 0
x₁ = 1, x₂ = -1
die graphen schneiden sich an der stelle
x₁ = 1  und x₂ = -1

fläche unter g(x) von -1 bis 1
A₁ = ∫1 - x dx = [-x^2/2 + x](von -1 bis 1) = 2

fläche unter f(x) von -1 bis 0
A₂ = ∫x^4 - x^3 dx = [x^5/5 - x^4/4](von -1 bis 0) = 9/20

fläche unter f(x) von 0 bis 1
A₃ = ∫x^4 - x^3 dx = [x^5/5 - x^4/4](von -1 bis 0) = -1/20

fläche zwischen den graphen
A = A₁ - A₂ + |A₃|
A = 2 - 9/20 + |-1/20|
A = 7/5

b)
schnittstellen bestimmen
4/x^2 - 5 = -x^2
x^4 - 5x^2 + 4 = 0
x^2 = z
z_1,2= 2.5 ± √(6.25-4)
z₁ = 4, z₂ = 1
x = ±√z
x_1,2 = ±2
x_3,4 = ±1
die graphen schneiden sich an der stelle
x₁ = 2, x₂ = -2, x₃ = 1, x₄ = -1

fläche unter f(x) von 1 bis 2
A₁ = ∫4/x^2 - 5 = [-4/x - 5x](von 1 bis 2)
A₁ = -3

fläche unter g(x) von 1 bis 2
A₂ = ∫-x^2 dx = [-x^3/3](von 1 bis 2)
A₂ = -7/3

fläche zwischen den graphen, nutzung der symmetrie
A = 2(|A₁| - |A₂|) = 2(|3|-|7/3|)
A = 4/3

 

Comments

a) A = 2 - 9/20 + |-1/20| wäre 1,5 und ist nicht:
    A = 7/5