Hi,
zu (a)
Die Lagrange Funktion ist \( L(x,y,\lambda) = 1 -x^2 + \lambda ( y -x ) \) und die kritischen Werte sind so wie Du sie berechnet hast, also bei \( x=0 \) und \( y = 0 \)
Die Hesse Matrix sieht so aus
$$ H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Sie ist negativ semidefinit, deshalb kann man mit der Hessematrix keine Aussage über den Extremwert machen.
Da die Funktion \( f(x,y) = 1 - x^2 \) bei \( x = 0 \) aber ein Maximum annimmt, ist auch der Punkt \( (0,0) \) unter der Nebenbedingung ein Maximum.
zu (b)
Hier ist die Lagrangefunktion \( L(x,y,\lambda) = 1 -x^2 + \lambda ( x -1 ) \) Die kritischen Punkten liegen bei \( x = 1 \) und \( y \in \mathbb{R} \)
Die Hessematrix ist wie in (a), also negativ semidefinit. Deshalb kann auch hier keine Aussage über die Extremwerte mit der Hessematrix gemacht werden.
Unter der Nebenbedingung \( x = 1 \) ist abder die Funktion \( f(x=1,y) = 0 \). D.h. hier liegt weder ein Maximum noch ein Minimum vor.
