Wie berechnet man diese quadratische Gleichung?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Gleichung

x²+px-12=0. Bestimmen Sie denjenigen Wert für p, für den die Gleichung die Lösungsmenge L= {-2;6} hat.
Problem/Ansatz:

So lautet die Angabe. Wie muss man hier vorgehen? Also Schritt für Schritt

Answer 1

Setze in der Gleichung x = -2 bzw. x = 6 und löse nach p auf.

Oder über den Satz von Vieta: p = -(x₁ + x₂), wobei x_1,2 die beiden Nullstellen (Elemente von L) darstellen.

Comments

... und vertraue deinem Lehrer oder führe die Aufgabe zu Ende.

Answer 2

Hallo,

x² - px - 12 = 0

Mit einer Gleichung dieser Form sucht man die Nullstellen einer Funktion. Die Lösung ist schon gegeben, also kannst du die Funktion als folgendes Produkt schreiben:

(x + 2)(x - 6) = 0

(Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist = 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.)

Wenn du die Klammern ausmultiplizierst und die Gleichung damit in die Normalform bringst, erhältst du p.

Melde dich, wenn du mehr Hilfe brauchst.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank! Es gibt allerdings noch eine ähnlich Aufgabe, bei der die Lösungsmenge nicht angegeben ist. Sie lautet folgendes:

4x²-d=2      mit d Element von R

Geben Sie denjenigen Wert für d Element von R an, für den die Gleichung genau eine Lösung hat.

Wie schon eben gesagt, hat diese Gleichung keine Lösungsmenge angegeben. Wie würden man in dem Fall vorgehen? Müsste man die Formel (von der kleinen Lösungsformel) umstellen?

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Das bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle vorliegt.

⇔ 4x² - d = 2 
⇔ 4x² = 2 + d 
⇔ x² = (2 + d) / 4
⇔ x = ± √( (2 + d) / 4 )

Das sind die beiden Lösungen in Abhängigkeit von d. Wenn nun lediglich eine NS existieren soll, muss gelten √( (2 + d) / 4 ) = - √( (2 + d) / 4 ) ⇔ (2+d) = - (2+d) ⇔ d = -2.

Oder anders ausgedrückt, durch d = -2 wird 4x² -d = 2 zu 4x² = 0 (Normalparabel mit Streckfaktor 4) und hier liegt eine doppelte NS im Ursprung vor (Scheitelpunkt).

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Danke zunächst, aber wie würde man es bei der Methode rechnen:  D=0 ? (kleine Lösungsformel)

Um eine Lösung zu haben muss schließlich die Diskriminante genauso groß sein, wie die andere Zahl z.b. √7-7

Bei einer ähnlichen Aufgabe, bei der ebenfalls eine Lösung rauskommen soll, habe ich es hingekriegt, aber dieses „d“ verwirrt mich bei der Aufgabe. Sollte „d“ mit 2 addiert werden oder sollte „d“ das „dx“ „darstellen“?

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Die von mir gerade gestellte Frage konnte ich schon selbst beantworten. Ich habe versucht ihre Schritte nachzuvollziehen, habe es allerdings ab

√( (2 + d) / 4 ) = - √( (2 + d) / 4 ) ⇔ (2+d) = - (2+d) ⇔ d = -2.

nicht verstehen. Müsste nicht folgendes stehen: √( (2 + d) / 4 ) = 0 ? Beziehungsweise, wie ist man auf (2+d) gekommen?

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$$x=\pm \sqrt{\frac{2+d}{4}}$$

Daraus folgen zwei Lösungen, aber es soll in dieser Aufgabe nur eine Nullstelle geben, also setzt du beide Lösungen gleich:

$$\sqrt{\frac{2+d}{4}}=- \sqrt{\frac{2+d}{4}}$$

jetzt auf beiden Seiten quadrieren

$$\frac{2+d}{4}=- \frac{2+d}{4}\qquad |\cdot 4\\2+d=-(2+d)\\ 2+d=-2-d\\2d=-4\\d=-2$$

Müsste nicht folgendes stehen: √( (2 + d) / 4 ) = 0

Nein, nur den Term unter der Klammer = 0 setzen (s. Antwort von Georg), denn dann hat man nur eine Lösung, weil x + 0 = x und x - 0 = x.

Answer 3

Hallo,

z.B über den Nullstellenansatz (faktorisierte Form)

f(x)=(x+2)(x-6)=x² -4x-12

p=-4

Answer 4

Geben Sie denjenigen Wert für d Element von R an, für den die Gleichung genau eine Lösung hat.

4x² - d = 2
4x² = 2 + d
x² = ( 2 + d ) / 4
x = ± √ [ ( 2 + d ) / 4 ]

keine Lösung falls ( 2 + d ) / 4  < 0
( Wurzel aus negativer Zahl geht nicht )
eine Lösung falls ( 2 + d ) / 4 = 0
zwei Lösungen falls ( 2 + d ) / 4 > 0

( 2 + d ) / 4 = 0
2 + d = 0

d = -2
und
x = 0

Comments

Danke, aber diesen Schritt habe ich nicht so ganz nachvollziehen können:

( 2 + d ) / 4 = 0
2 + d = 0

Müsste nicht:

√( (2 + d) / 4 )=0.  stehen? Also mit der Wurzel? Und warum ist das „ /4“ plötzlich verschwunden?

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Aus √( (2 + d) / 4 )=0  folgt
(2 + d) / 4  = 0
Nur wenn der Term in der Wurzel bereits 0 ist
ist auch die Wurzel null.

( 2 + d ) / 4 = 0  | * 4
( 2 + d ) / 4 * 4 = 0 * 4
2 + d = 0

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Und am Ende, also bei  2+d=0 , müsste ich -2 rechnen, so dass als Endergebnis

d=-2

steht oder?

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Ja
2 + d = 0  | -2
2 - 2 + d = 0 -2
d = -2

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Jetzt ergibt die Aufgabe einen Sinn! Danke für die Beantwortung meiner Fragen!!

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Gern geschehen.