Wie berechnet man die Seitenlänge und die Höhe einer quadratischen Pyramide?

Question

ich habe eine Mathe Aufgabe wo man die Seitenlänge eines Quadrats sowie die höhe der dreieckigen Flächen einer quadratischen Pyramide mit der höhe =4cm und die seitenkanten =7cm.

wie berechnet man das mit Hilfe des pythagoas?

Answer 1

Nun, die Höhe h der Pyramide, die Seitenkante s und die halbe Diagonale d des Grundflächenquadrats bilden ein rechtwinkliges Dreieck, da die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht. Hypotenuse ist die Seitenkante.

Daher gilt (Pythagoras):

h ² + ( d / 2 ) ² = s ²

Auflösen nach d (die Werte der anderen Variablen sind bekannt):

<=> ( d ² / 4 ) = s ² - h ²

<=> d ² = 4 * ( s ² - h ² )

<=> d = √ ( 4 * ( s ² - h ² ) )

Bekannte Werte einsetzen:

d = √ ( 4 * ( 49 - 16 ) ) = 11,49 cm

Das ist die Länge der Diagonalen des Grundflächenquadrats.

Diese Diagonale ist aber auch die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten k zwei benachbarte Seiten des Grundflächenquadrats sind. Da es sich um ein Quadrat handelt sind diese Katheten gleich lang. Daher gilt:

d ² = k ² + k ² = 2 k ²

Auflösen nach k:

<=> k ² = d ² / 2 = (siehe oben) 4 * ( s ² - h ² ) / 2

<=> k ² = 2 * ( s ² - h ² )

<=> k = √ ( 2 * ( s ² - h ² ) ) = 8,124 cm

Das ist die Seitenlänge des Grundflächenquadrats.

Die Hälfte der Seite k bildet mit der Seitenflächenhöhe h_s und der Seitenkante s ein rechtwinkliges Dreieck, Hypotenuse ist wieder die Seitenkante. Also:

( k / 2 ) ² + h_s² = s ²

<=> h_s² = s ² - k ² / 4

<=> h_s² = s ² - ( s ² - h ² ) / 2

<=> h_s² = ( s ² + h ² ) / 2

<=> h_s = √ ( ( s ² + h ² ) / 2 )

Werte einsetzen:

h_s = √ ( ( 49 + 16 ) / 2 = √ ( 32,5 ) = 5,70 cm

Das ist die Höhe der Seitenflächendreicks.

Du findest alle Lösungen zu dieser und weiterer Pyramiden hier: https://www.matheretter.de/rechner/pyramide?s=7&h=4