Höhe und Volumen einer quadratischen Pyramide ausrechnen: A(4/2/4), B(7/-6/-1), C(-2/-10/0), D(-5/-2/5)

Question

wie kann ich die Höhe und das Volumen einer Pyramide ausrechnen wenn ich die Basispunkte, die Spitze und die Ebenengleichung habe?

Basispunkte:

A(4/2/4), B(7/-6/-1), C(-2/-10/0), D(-5/-2/5)

Spitze

S(3/-7/8)

Ebenengleichung

-2x+3y-6z=-26

hoffe jemand kann mir helfen

Schon mal Danke  :)

Answer 1

Die Höhe kannst du berechnen indem Du den Abstand von S zur Ebene ABCD bestimmst.

Das Volumen errechne ich persönlich immer am einfachsten mit dem Spatprodukt. Du kannst aber auch 1/3 mal Grundfläche mal Höhe nehmen. Das ist dann die alte Volumenformel.

Comments

wie rechne ich den abstand aus?

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z.B. indem du den Punkt S in die Hessesche Normalform der Ebenengleichung der Grundebene einsetzt.

Falls

Ebenengleichung

-2x+3y-6z=-26 die Gleichung der Grundebene ist, gilt 

0 = 2x - 3y + 6z - 26                     | : √(2^2 + 3^2 + 6^2) = √(4+9+36) = 7

HNF: 0 = 2/7 x - 3/7 y + 6/7 z - 26/7

S(3/-7/8) einsetzen:

±d = 2/7 *3 + 3/7 *7 - 6/7 * 8 - 26/7 = - 47/7

d = 47/7 = 6.71429 = h  (Höhe der Pyramide)

Bitte nachrechnen und Hessesche Normalform repetieren, resp. in der Wikipedia die Formel studieren.

Anmerkung: Ich habe doch gestern den Punkt D ausgerechnet. Vielleicht findest du die Aufgabe ja über die Suche. JotEs hatte dort schon viel weiter, vielleicht sogar fertig gerechnet.

Doch nicht fertig. Es gibt da anscheinend viele Teilaufgaben: https://www.mathelounge.de/110508/rechne-einen-basiseckpunkt-einer-quadratischen-pyramide#a110565

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vielen dank hat mir sehr geholfen

jetzt hab ich noch eine frage und zwar wie kann ich jetzt die Grundfläche ausrechnen?

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Kannst du den Abstand von A zu B berechnen und das Quadrieren ?

Bitte überlege doch einfach mal bevor du alles klein Vorrechnen lässt?

Du solltest für die Grundfläche A = 98 heraus bekommen.

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oops stimmt sorry  ;)