Aloha :)
Teil a) Einsetzungsverfahren$$\begin{array}{c}x+y=9\\x=19-3y\end{array}$$Weil die zweite Gleichung bereits nach \(x\) umgestellt ist, bietet es sich an, dieses \(x\) in die erste Gleichung einzusetzen. Dann erhält man eine Gleichung für \(y\):$$\left.9=x+y=(19-3y)+y=19-2y\quad\right|\;-19$$$$\left.-10=-2y\quad\right|\;:(-2)$$$$\left.y=5\quad\right.$$Das kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen, um \(x\) auszurechnen:$$x=19-3y=19-3\cdot5=19-15=4$$Damit lautet die Lösungsmenge:$$L=\{(4|5)\}$$
Teil b) Gleichsetzungsverfahren$$\begin{array}{c}4x=1+2y\\4x=6y-17\end{array}$$Hier sind beide linken Seiten der Gleichungen gleich. Also müssen auch die beiden rechten Seiten gleich sein. Daher können wir die beiden rechten Seiten gleichsetzen und erhalten eine Gleichung, in der nur noch eine Variable vorkommt:$$\left.1+2y=6y-17\quad\right|\;-6y-1$$$$\left.-4y=-18\quad\right|\;:(-4)$$$$\left.y=4,5\quad\right.$$Jetzt kannst du dieses Ergebnis in einer der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen:$$4x=1+2y=1+2\cdot 4,5=1+9=10\quad\Leftrightarrow\quad x=2,5$$Die gesuchte Lösungsmenge ist also:$$L=\{(2,5|4,5)\}$$
Teil c) Gauß-Verfahren$$\begin{array}{c}7x &- 41 &=&-3y\\9x&-13y&=&19\end{array}$$Wir bringen zunächst etwas Struktur in die Gleichungen:$$\begin{array}{c}7x &+3y &=&41\\9x&-13y&=&19\end{array}$$Jetzt multiplizieren wir die erste Gleichung mit \(9\) und die zweite Gleichung mit \(7\), damit wir vor den \(x\)-Variablen dieselben Faktoren stehen haben:$$\begin{array}{c}63x &+27y &=&369\\63x&-91y&=&133\end{array}$$Nun subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten, dabei sollten alle \(x\) verschwinden:$$\left.63x-63x + 27y -(-91)y=369-133\quad\right|\;\text{vereinfachen}$$$$\left.118y=236\quad\right|\;:118$$$$\left.y=2\quad\right.$$Dieses Ergebnis setzen wir nun in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein:$$\left.7x-41=-3y=-3\cdot2=-6\quad\right|\;+41$$$$\left.7x=35\quad\right|\;:7$$$$\left.x=5\quad\right.$$Die gesuchte Lösungsmenge ist also:$$L=\{(5|2)\}$$
