Aufgabe:
Ich möchte folgende Aufgabe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen:
\( \left(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{k}}\right) \)
Die Antwort der Aufgabe ist in der Lösung so vorgegeben:
$$ \frac{\frac{1}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{1}{k^{k}}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k} \frac{1}{k+1}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}} \frac{1}{k+1} $$
Der erste Faktor konvergiert gegen \( 1 / e, \) der zweite gegen \( 0, \) also konvergiert der ganze Ausdruck gegen \( 0 . \) Damit konvergiert die Reihe auch nach dem Quotientenkriterium.
Problem/Ansatz:
Nun verstehe ich nicht, wieso die Lösung einfach das k+1 als Exponent (aus dem Nenner im oberen Bruch, in dem ersten Teil der Lösung) einfach als 1 / k+1 herausgezogen werden kann ( nach dem ersten Gleichzeichen). Das dürfte im Normalfall ja nur möglich sein, wenn dieser Term nicht als Exponent dastehen würde, oder sehe ich da was falsch?
