Kann man Exponenten im Nenner einfach herausziehen?

Question

Aufgabe:

Ich möchte folgende Aufgabe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen:

\( \left(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{k}}\right) \)

Die Antwort der Aufgabe ist in der Lösung so vorgegeben:

$$ \frac{\frac{1}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{1}{k^{k}}}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k} \frac{1}{k+1}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}} \frac{1}{k+1} $$

Der erste Faktor konvergiert gegen \( 1 / e, \) der zweite gegen \( 0, \) also konvergiert der ganze Ausdruck gegen \( 0 . \) Damit konvergiert die Reihe auch nach dem Quotientenkriterium.

Problem/Ansatz:

Nun verstehe ich nicht, wieso die Lösung einfach das k+1 als Exponent (aus dem Nenner im oberen Bruch, in dem ersten Teil der Lösung) einfach als 1 / k+1 herausgezogen werden kann ( nach dem ersten Gleichzeichen). Das dürfte im Normalfall ja nur möglich sein, wenn dieser Term nicht als Exponent dastehen würde, oder sehe ich da was falsch? 

Answer 1

Hallo,

folgendes Potenzgesetz:

a^(m+n)= a^m *a^n

\( \dfrac{\dfrac{1}{(k+1)^{k+1}}}{\dfrac{1}{k^{k}}} \)

\( =\dfrac{\dfrac{1}{(k+1)^{k} \cdot(k+1)^{1}}}{\dfrac{1}{k^{k}}} \)

\( =\dfrac{k^k}{(k+1)^{k}+(k+1)^{1}} \)
\( =\left(\dfrac{k}{k+1}\right)^{k} \cdot \dfrac{1}{k+1} \)