Anzahl Nullstellen kubischer Funktion mit Parameten a und b bestimmen: f(x):= x³ - ax + b mit a,b ∈ℝ

Question

Hallo, über die Feiertage haben wir ein Übungsblatt bekommen, auf welchem eine Aufgabe ist, mit der ich mich schwer tue.

Die Aufgabenstellung lautet:

Für welche a,b hat die Funktion genau eine, zwei bzw. drei reelle Nullstellen?

Funktion: f(x):=  x³ - ax + b mit a,b ∈ℝ

Mir fällt wirklich kein Ansatz ein, wie ich das angehen soll... ich kenne zwar die Formeln von Cardano und den Satz von Vieta, mit denen ich kubische Gleichungen lösen kann. Aber wie man diese Kombination löst, Nullstellen und unbekannte ist mir Schleierhaft.

Vielen Dank im Voraus

Grüße K0ala

Comments

Zumindest einen Fall solltest Du sofort beantworten können.

Die beiden anderen sind deutlich komplizierter als die Diskriminante bei quadratischen Gleichungen, aber wenn Du die Cardanoschen Formeln kennst, solltest Du es herausbekommen.

Answer 1

Meines Wissens gilt folgendes: Die Gleichung \(x^3-ax+b=0\) hat
  genau 1 reelle Lösung, falls \(D<0\) oder \(a=b=0\)
  genau 2 reelle Lösungen, falls \(D=0\) und \(a>0\)
  genau 3 reelle Lösungen, falls \(D>0\) ist.
Dabei ist \(D=\left(\frac a3\right)^3-\left(\frac b2\right)^2\).

Answer 2

Schöne Aufgabe! Daher gebe ich auch nur eine Anregung zum weiterarbeiten. Sei $$f_{a,b}(x)=x^3 - ax + b \text{ mit } a,b \in \mathbb{R}$$ die hier zu betrachtende Schar von Funktionen. Dann ist durch $$w_{a,b}(x)=- ax + b \text{ mit } a,b \in \mathbb{R}$$ die Schar ihrer jeweiligen Wendetangenten beschrieben. Für \(a \le 0\) sind alle \(f_{a,b}\) streng monoton steigend, besitzen daher nur genau eine reelle Nullstelle.

Für positive \(a\), das ist der andere Fall, besitzen alle Funktionen der Schar zwei Extrempunkte, die – in Abhängigkeit von \(b\) – die Zahl der Nullstellen noch nach oben drücken können...