Aufgabe:
(a) Sei (Xn)n∈N eine Folge von unabhängigen und identisch Exp(λ)-verteilten Zufallsvariablen mit λ > 0 und sei (Sn)n∈N mit
Sn := ∑nk=1 Xk
die Folge der Summenvariablen. Zeigen Sie für alle n ∈ N, dass PSn = Erlang(λ, n), wobei
die Dichtefunktion der Erlang(λ, n)-Verteilung gegeben ist durch
fλ,n(x) = \( \frac{λn}{(n − 1)!} \) xn−1exp(−λx)1(0,∞)(x).
Hinweis: Zeigen Sie die Behauptung z.B. durch Induktion nach n.
(b) Berechnen Sie E(Sn) und Var(Sn) der nach (a) Erlang(λ, n)-verteilten Zufallsvariablen Sn.
