DGL Textaufgabe Temperatur

Question

Aufgabe:

Die Körpertemperatur eines Menschen wird mit dem Fieberthermometer gemessen. Dabei gibt q(t) die Differenz zwischen der Körpertemperatur und der zum Zeitpunkt t (t in Minuten) vom Thermometer angezeigten Tempertur in Grad. Die Geschwindigkeit q'(t), mit der sich q(t) ändert, ist während der Messung zu jedem Zeitpunkt proportional zu q(t).
(1) Geben Sie bitte für q die Dierentialgleichung an und bestimmen Sie bitte die Lösung der Dierentialgleichung.
(2) Bei der Untersuchung eines gesunden Menschen, dessen Körpertemperatur 37◦ beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17◦ auf 34,3◦ an. Bestimmen Sie für diesen Fall die Funktion q(t).
(3) Die Messung wird beendet, wenn q0(t) = −0,1 ist. Wann ist dies der Fall? Welche Temperatur wird am Ende der Messung angezeigt?

Problem/Ansatz:

Habe keine Ahnung wie ich das angehen soll. Wie fängt mann das am besten an ?

Answer 1

Hallo Valeri,

Wie fängt mann das am besten an ?

indem man die Aufgabenstellung formal hinschreibt:

Die Geschwindigkeit q'(t), mit der sich q(t) ändert, ist während der Messung zu jedem Zeitpunkt proportional zu q(t)

heißt: \(q'(t) \propto q(t)\) es existiert also ein konstantes \(k\) mit $$q'(t) = k \cdot q(t)$$ und schon ist die Differentialgleichung fertig. Die hat klassischerweise die Lösung: $$q(t) = C \cdot e^{kt}$$ frage bitte nach, falls Du nicht weißt, wie man darauf kommt. Jetzt fehlt noch das \(k\) und das \(C\)

Dabei gibt q(t) die Differenz zwischen der Körpertemperatur und der zum Zeitpunkt t (t in Minuten) vom Thermometer angezeigten Tempertur in Grad.

wenn \(\vartheta_m\) die Temperatur des Menschen ist und \(\vartheta_s\) die Temperatur des Thermometers dann ist$$q(t) = \vartheta_s - \vartheta_m$$

... dessen Körpertemperatur 37◦ beträgt, steigt die Anzeige des Thermometers in der ersten halben Minute von 17◦ auf 34,3◦ an.

heißt: $$q(0) = 17° - 37°= -20° \implies C = -20° \\ q(0,5 \, \text{min}) = 34,3° - 37° = -2,7° \\ \implies k = \ln\left( \frac{-2,7}{-20}\right) \cdot \frac 1{0,5 \, \text{min}} \approx -4 \, \text{min}^{-1}$$

Die Messung wird beendet, wenn q0(t) = −0,1 ist. Wann ist dies der Fall?

Einsetzen in die Lösung der DGL$$q(t_{\text{end}}) = -20° \cdot e^{-4t_{\text{end}}\, \text{min}^{-1}} = -0,1° \\ \implies t_{\text{end}} = \ln\left( \frac{-0,1}{-20} \right) \cdot \frac 1{-4} \,\text{min} \approx 1,32 \,\text{min} \approx 1\,\text{min}\, 19\,\text s$$

Welche Temperatur wird am Ende der Messung angezeigt?

schaffst Du alleine - oder?

Comments

q′(t)=k⋅q(t) und schon ist die Differentialgleichung fertig. Die hat klassischerweise die Lösung:
q(t)=C⋅ekt

wie bist du von dem ersten auf das 2 gekomen ?

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q′(t)=k⋅q(t) und schon ist die Differentialgleichung fertig. Die hat klassischerweise die Lösung:
q(t)=C⋅e^kt

wie bist du von dem ersten auf das 2 gekomen ?

durch Wissen und Erfahrung ;-)

Eine DGL vom Typ \(y' = k \cdot y\) ist erstens relativ einfach und kommt zweitens relativ häufig vor. Die Temperaturänderung mit der Zeit ist da praktisch schon der Klassiker.

Du kannst sie auch über die Trennung der Variablen lösen:$$\begin{aligned}q'(t) &=k \cdot q(t) \\ \frac{\text d q}{\text d t} &= k \cdot q && \left|\, \cdot \,\text d t \div q \right. \\ \frac 1{q} \text d q &= k \cdot \text d t && \left| \, \int \right. \\ \int \frac 1{q} \text d q &= \int k \cdot \text d t \\ \ln q &= k \cdot t + C && \left| \, e^{(.)} \right. \\ q &= e^{kt +C} = e^C \cdot e^{kt} \\ q &= C_1 \cdot e^{kt} \end{aligned}$$

Answer 2

Vorbemerkung:

- Richtig muss es wohl heißen: q(t₀)=-0,1  gesucht (Druckfehler)

- Im Text ist q(t) = Körpertemp - Thermometertemp

Da aber q(t) negativ sein soll, sollte der Text richtig heißen:

Dabei gibt q(t) die Differenz zwischen der vom Thermometer angezeigten Tempertur in Grad und der Körpertemperatur zum Zeitpunkt t (t in Minuten) an.

(1) DGL: q‘(t)= const.* q(t) steht im Text. (y‘=cons*y)

(2) Die Lösung ist bekannt und hat die Form: q(t) = a e^bt
a,b müssen über 2 Informationen aus der Aufgabe gefunden werden:

q(0)=17-k=17-37=-20,     q(0,5) =34,3-k=34,3-37=-2,7 (k=Körpertemp.=37)
q(0)=-20=a e⁰  ⇒  a=-20
q(0,5)=-2,7 = -20 e ^b*0,5  ⇒  -2,7/(-20) = e b*0,5  ⇒  ln(2,7/20) = b*0,5 ⇒   b= 2* ln(2,7/20)= -4

also: q(t) = -20*e ^-4t

(3) t₀ mit q(t₀)=-0,1  gesucht:
-0,1 = -20*e-4t0    -0,1/(-20) =e -4t0      -4t0 =ln(1/200)  t0=1,32…
Nach 1,3 Minuten zeigt das Fieberthermometer 0,1 Grad weniger also die wahre Körpertemperatur an, also 36,9 Grad.