Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge (SQRT2)*(5/3)?

Question

Aufgabe:

((5/3)*SQRT2)^2 - ((5/6)*SQRT2)^2 = Höhe^2

Höhe = (SQRT150)/6

Problem/Ansatz:

Lege ich das gleichseitige Dreieck in ein 3D Koordinatensystem, mit X-Wert 5/3, Y-Wert 5/3 und Z-Wert 5/3, so hat das gleichseitige Dreieck die Kantenlänge (SQRT2)*(5/3). Betrachte ich nun den Abstand vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum Flächenmittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks, so ist dieser R=1, bei meiner Wahl der Zahlen, weil (5/3)^2 - (4/3)^2 = 1 ist. Das ergäbe aber für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks genau den Wert 2. (Die Höhen teilen sich im Verhältnis 2:1).

Das steht nun im Widerspruch zur obigen Rechnung. Differenz ca. 41/1000.

Comments

Lege ich das gleichseitige Dreieck in ein 3D Koordinatensystem, mit X-Wert 5/3, Y-Wert 5/3 und Z-Wert 5/3,

Was soll dieser Unsinn. Das Dreieck hat drei Ecken. JEDER der drei Eckpunkte hat DREI Koordinaten. Du gibst für "DAS DREIECK" gerade mal EINEN x-Wert, EINEN y-Wert und EINEN z-Wert an. Bitte drücke klar aus, was du damit meinst.

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Also: X Koordinate: ( 5/3, 0 , 0 ) : Erster Eckpunkt

        Y Koordinate: ( 0, 5/3, 0 ) : Zweiter Eckpunkt

        Z Koordinate: ( 0, 0, 5/3 ) : Dritter Eckpunkt

Die Eckpunkte liegen jeweils auf der x-Achse, y-Achse und der z-Achse.

Ist sonst noch etwas ungenau?

Ich verbinde die Eckpunkte mit einer Geraden: nämlich den auf der x-Achse mit dem auf der y-Achse, den auf der x-Achse mit dem auf der z-Achse und den auf der y-Achse mit dem auf der z-Achse. Dadurch entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge 5/3*SQRT2.

Answer 1

Hallo Plantschi,

Betrachte ich nun den Abstand vom Nullpunkt des Koordinatensystems zum Flächenmittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks, so ist dieser R=1

das ist nicht der Fall! Nach Deinen Angaben ist die Normalenform der Ebene, in der sich das Dreieck befindet $$\begin{pmatrix} 1\\1\\ 1 \end{pmatrix} \vec x = \frac 53 $$ bzw. nach Normieren des Normalenvektors $$\frac 13 \sqrt 3 \begin{pmatrix} 1\\1\\ 1 \end{pmatrix} \vec x = \frac 59 \sqrt 3 \approx  0,96$$Der Abstand zum Ursprung ist also nicht \(1\) sondern ca. \(4/100\) weniger.

Answer 2

Hallo

 dein R=1 hab ich nicht nachgerechnet. aber was hat dieser Abstand von 0 mit der Teillänge der Höhe zu tun. natürlich gilt Pythagoras auch für die Dreieck.

lul