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 Hi,

ich möchte Folgendes zeigen:

Berechnen Sie f(x) f^{\prime}(x) und zeigen Sie, dass für alle xR x \in \mathbb{R} gilt f(x)[14,34] f^{\prime}(x) \in\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right]
f(x)=1214x1+x2 f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
Wegen x=x21+x2 |x|=\sqrt{x^{2}} \leqslant \sqrt{1+x^{2}} \quad folgt x1x21 | \frac{x}{\sqrt{| 1-x^{2}} |} | \leq 1

Nun frage ich mich, ob man auch mit L'Hospital hätte vorgehen können. Habe es versucht, aber es klappt nicht, weiß allerdings nicht warum...

Wisst ihr weiter?


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Welchen Grenzwert willst du denn bilden?

Hi vielen Dank für die Antwort. Für x gegen - und + unendlich, aber drehe mich dann beim ableiten im kreis:(

1 Antwort

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Bei L´Hospital drehe ich mich auch im Kreise.
Falls du nur die Lösung haben willst,
x / √ ( 1 + x2)
√ x2 / √ ( 1 + x2)
√ [x2 / ( 1 + x2)]

Zähler erweitern
( x2 + 1 - 1 ) / ( 1 + x2)
( 1 + x2 ) / ( 1 + x2 ) - 1 / ( 1+x2)
1 - 1 / ( 1+x2)

lim x -> ∞ [ 1 - (1 / ( 1+x2)  ] = 1 -  (1/ ∞)  = (1 - 0) = 1
1/2 - 1/4 * √ 1  = 1/4

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