Warum geht hier L'Hospital nicht?

Question

 Hi,

ich möchte Folgendes zeigen:

Berechnen Sie \( f^{\prime}(x) \) und zeigen Sie, dass für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( f^{\prime}(x) \in\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right] \)
$$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$
Wegen \( |x|=\sqrt{x^{2}} \leqslant \sqrt{1+x^{2}} \quad \) folgt \( | \frac{x}{\sqrt{| 1-x^{2}} |} | \leq 1 \)

Nun frage ich mich, ob man auch mit L'Hospital hätte vorgehen können. Habe es versucht, aber es klappt nicht, weiß allerdings nicht warum...

Wisst ihr weiter?

Comments

Welchen Grenzwert willst du denn bilden?

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Hi vielen Dank für die Antwort. Für x gegen - und + unendlich, aber drehe mich dann beim ableiten im kreis:(

Answer 1

Bei L´Hospital drehe ich mich auch im Kreise.
Falls du nur die Lösung haben willst,
x / √ ( 1 + x^2)
√ x^2 / √ ( 1 + x^2)
√ [x^2 / ( 1 + x^2)]

Zähler erweitern
( x^2 + 1 - 1 ) / ( 1 + x^2)
( 1 + x^2 ) / ( 1 + x^2 ) - 1 / ( 1+x^2)
1 - 1 / ( 1+x^2)

lim x -> ∞ [ 1 - (1 / ( 1+x^2)  ] = 1 -  (1/ ∞)  = (1 - 0) = 1
1/2 - 1/4 * √ 1  = 1/4