Question

Ausgehend von den Vektoren

V1=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\1 \end{pmatrix} \), V2=\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1\\1 \end{pmatrix} \), V3=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\-2\\1 \end{pmatrix} \), V4=\( \begin{pmatrix} -3\\0\\1\\-1 \end{pmatrix} \), V5=\( \begin{pmatrix} 3\\2\\-3\\2 \end{pmatrix} \) ist folgende Aufgabe zu lösen.

Eine lineare Abbildung A':R⁵→R⁴ erfüllt die folgenden Bedingungen.

A'(e1)=V1

A'(pe2+se3)=V2

A'(pe2-se3)=V3

A'(te4+2se5)=V4

A'(te4-2se5)=V5

E1,....,E5 sind dabei die Einheitsvektoren.

Aufgabe: Ermitteln Sie zur linearen Abbildung A' die zugehörige Abbildungsmatrix A

Ich sitze jetzt schon den halben Tag an der Aufgabe, aber komme absolut auf nichts gescheites. Könnte mir jemand zeigen, wie man die Aufgabe löst?

Answer 1

Hallo

 die Bilder der e_i sind die entsprechenden Spalten der Matrix.

 also musst du deine Gleichungen nur nach den e_i auflösen

Beispiel : e2=1/2p*(V2+V3)

dabei musst du noch beachten, dass die Vi untereinander linear abhängig sind da es im R^4 maximal 4 lin. unabhängige Vektoren gibt.

Gruß lul

Comments

In die Richtung habe ich auch gedacht. Nur bin ich dann an dem p z.b gescheitert. Wie groß ist das jetzt in deinem Beispiel bspw.?

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warum sagst du denn nicht, was du schon hast?

lul

Answer 2

Die Abbildungsmatrix A ist eine 4x5-Matrix. Die 5 Spalten sind der Reihe nach die Vektoren A'(e₁) bis A'(e₅). Mit der ersten Gleichung ergibt sich schon die erste Spalte, aus den anderen muss man durch Umformungen die restlichen Bildvektoren ermitteln. Da kann man zum Beispiel mal Gleichungen miteinander addieren und ausnutzen, dass die Abbildung linear ist.

Comments

Würde der erste Vektor der matrix dann (0,0,0,1) heißen? Ich stehe zur Zeit echt auf dem Schlauch. Sryyy

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Eben wurde gesagt, dass die erste Spalte V1 ist, wie kommst du auf deinen Vektor, ?

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Die erste Spalte ist v₁, das Bild von e₁. Also (1,2,-1,1)^T

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Hallo

 um was über die p.s.t zu sagen muss man wohl erst die Vi linear kombinieren, da sie ja abhängig sind, die Rechnerei überlass ich euch, sonst einfach erst mal die Matrix mit den s,p,t  hinschreiben.

Gruß lul

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Bezüglich der Parameter p, s und t müsste auch eigentlich irgendwas in der Aufgabe stehen. Entweder, dass es sich um beliebige (von 0 verschiedene) reelle Zahlen handelt, oder dass man sie aus irgendwelchen Bedingungen ermitteln soll.