Sei En die n X n-Einheitsmatrix. Welchen Wert muss a haben, damit die Determinante von (aEn) = n ergibt?

Question

Aufgabe:

Sei E_n die n X n-Einheitsmatrix. Welchen Wert muss a haben, damit die Determinante von (aE_n) = n ergibt?

Problem/Ansatz:

Ich habe durch Ausprobieren herausgefunden, dass a immer(?) zwischen 1 und 2 liegt, aber es gibt doch sicherlich einen Weg, den richtigen Wert für jede beliebige Einheitsmatrix zu berechnen.

Comments

$$ a =\sqrt[n]{n}$$

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Vielen Dank :) Kann ich dir irgendwie ein Sternchen für die richtige Antwort geben?

Answer 1

Im Reellen und Komplexen:

Aus den Rechenregeln für Determinanten folgt:

$$ \det a E_n = a^n \det E_n = a^n \stackrel {!}{=} n $$

Eine Lösung ist bspw. \( a =\sqrt[n]{n} \).

Für andere Körper existiert im allgemeinen keine Lösung.