Folgen: Monotonie von a_n = {(1+2^n)/(2^n)} beweisen

Question

ich häng zur Zeit beim Thema Folgen und Reihen.

Ich hab Folgende Folge:

{(1+2^n)/(2^n)}

Wenn ich nun Werte für eine eingebe, dann hab ich als ersten 3/2 und irgendwann komme ich an die 1 heran.

Für mich würde das bedeuten, dass die Folge monoton fällt. Aber wie beweise ich das?

Comments

Danke, wenn aber auf beiden Seiten mal das gleiche steht, wäre die Folge streng monoton fallend, oder?

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'streng' wird benutzt bei  < oder >

ohne 'streng' meint man ≤ oder ≥

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Jetzt hab ich noch eine:

{2^n/n!}

für die ersten beiden n's (1 und 2) kommt zwei heraus und wird dann immer kleiner.

Wenn ich jetzt wieder a_n>=a_n+1 anwende wären beide Seiten bei n=1 gleich.

In der Lösung heißt es aber streng monoton fallen...

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{2ⁿ/n!}  ??? {2^{n+1}/(n+1)!           |*(n+1)!

<==>

(n+1)2^n ??? 2^{n+1}            |: 2^n

<==>

(n+1) ??? 2

<==>

??? ist ≥           für n ≥1

Für n > 1 ==> n+1 > 2         Also ??? ist >

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{2ⁿ/n!}  ??? {2ⁿ⁺¹/(n+1)!           |*(n+1)!

zu 

(n+1)2ⁿ ??? 2ⁿ⁺¹  

wo ist das n! links hin? Weil n=1 ist und somit die Fakultät 1?

Answer 1

Du musst zeigen, dass

{(1+2ⁿ)/(2ⁿ)} > {(1+2ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹)} gilt.

Hier daher solange umformen, bis man das sieht.

{(1+2ⁿ)/(2ⁿ)} > {(1+2ⁿ⁺¹)/(2ⁿ⁺¹)}          |*2^{n+1}

<==>

2(1 + 2^n) > 1 + 2^{n+1}

<==>

2 + 2^{n+1} > 1 + 2^{n+1}             |-2^{n+1}

<==>

2> 1

qed.