Basis und Dimension des Schnittes under Summe zweier Vektorräume

Question

Aufgabe:

Gegeben sind folgende vier Untervektorräume des R³. Geben sie jeweils (ohne Beweis) eine Basis und die Dimension des Untervektorraums an.

V₁ = _df { (x, y, z )^t ∈ R³ | x = y = z }

V₂ = _df { (x, y, z )^t ∈ R³ | x = 3y }

V₃ = _df  V₁  ∩  V₂   und  V₄ = df  V₁   +  V₂

    

_{Kann mir jemand helfen das zu lösen? Danke.}

Comments

Ich habe gerade gesehen, dass jemand die frage bereits gestellt hat.. Verzeihung!

Answer 1

V1 = df { (x, y, z )^t ∈ R3 | x = y = z }

Die sehen ja alle so aus:

(a,a,a)^t = a*(1,1,1)^t also ist (1,1,1)^t eine Basis und dim=1.

V2 = df { (x, y, z )t ∈ R3 | x = 3y }

Die sehen ja alle so aus:(3a,a,b)^t = a*(1,3,0)^t+b*(0,0,1)^t  also ist (1,3,1)^t , ( 0,0,1)^t eine Basis und dim=2.

V3 = df  V1  ∩  V2   und  V4 = df  V1   +  V2

V3:   damit ein Vektor in V3 ist, muss er drei gleiche Komponenten haben

und außerdem von der Form (3a,a,b)^t sein, also muss gelten

3a=a und a=b das geht aber nur mit dem 0-Vektor

==>    V1  ∩  V2  = {0}  Basis ist die leere Menge und dim=0.

wegen dim ( V1   +  V2 ) = dim(V1) + dim(V2) - dim(  V1  ∩  V2 )

ist das =3.