Bestimmen Sie die Dimension und Basis von \( U_1 + U_2 \), wobei \( U_1, U_2 \ \ \ \mathbb{F_5} \)-Unterräume sind
\( U_1 = ⟨ \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\0\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1\\-1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} ⟩, U_2 = ⟨ \begin{pmatrix} 4\\1\\0\\3\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 3\\2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} ⟩ \)
Ich glaube ich übersehe irgendetwas offensichtliches.
Ich habe das Gleichungssystem
x + y - z + 4t + v + 3u = 0
2x + 2y - z + t + 2u = 0
x + 3y + v = 0
4y + z + 3t = 0
2x + z = 0
gelöst und bin dann mit den Rechenregel in in Z/5Z auf folgendes gekommen.
x + y - z + 4t + v + 3u = 0
4y + z + 3t = 0
-z + 2t + 2v + 4u = 0
4t + 2v + 3u = 0
3v + 4u = 0
Hier kann ich ja theoretisch (wurde in der Vorlesung noch nicht behandelt) ablesen, dass \( dim_{\mathbb{F_5}} (U_1 + U_2)= 5 \)
Aber wie bestimme ich jetzt eine Basis, ich habe irgendwie keine Linearkombination finden können, um einen der 6 Vektoren mit den anderen darzustellen. Ich habe irgendwie das Gefühl, dass das LGS zu lösen nicht der einzige Weg ist um die Aufgabe zu lösen ...
In dem LGS oben kann ich ja u = s setzen und komme dann auf
x = s, y = 3s, z = 2s, t = 2s, v = 2s, u = s
ich kann die Lösung aber nicht interpretieren.
