Basis von L bestimmen, zeigen, dass U ein UVR ist und Dimension bestimmen

Question

Hi zusammen,

Sei L der Vektorraum aller Lösungen φ: ℝ -> ℝ der Differentialgleichung y'''-y''-5y'-3y=0.

Bestimmen Sie eine Basis von L.

Sei U:={φ∈L|\( \lim\limits_{x\to\infty} \) φ(x)=0}. Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von L ist und bestimmen Sie die Dimension.

Answer 1

Zunächst würde ich die Differentialgleichung lösen. Dann erhältst Du die Lösung

y(x)=c₁e^-x+xc₂e^-x+c₃e^3x

Dann überlege ich mir,  welche Lösungen für x→∞  gegen null gehen. Das sind die ersten beiden.

Damit die Unterraumaxiome prüfen.

Du musst drei Dinge überprüfen:

1. U ist nicht die leere Menge  (e^-x ist drin)

2. für v,w∈U gilt:  v+w∈U 

3. für v∈Uund λ∈IR gilt: λv∈U

Also müsste die Dimension zwei sein.

Answer 2

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