Ich nehme mal an du meinst k > = 0 . widmen wir uns doch erst mal der Asymptotik. Für x ===> ( - °° ) haut die Kurve ab nach ( + °° ) wie die e-Funktion; dagegen verebbt sie in
( x | y ) ( asym ) = ( + °° | + 0 ) ( 1 )
aus dem kühlen Grunde, weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Daraus ergeben sich die Forderungen
x ( min ) < x1 ( w ) < x ( max ) < x2 ( w ) ( 2 )
Gleich die erste Teilantwort. Für k = 0 hast du eine Doppelnull im Ursprung - eine gerade Nullstelle ist ja immer ein Extremum. Das wird wohl das gesuchte Minimum sein.
Jetzt die rste Abteilung.
f ( x ; k ) := ( x ² + k x + k ) exp ( - x ) ( 3a )
f ' ( x ; k ) = ( 2 x + k - x ² - k x - k ) exp ( - x ) = ( 3b )
x ( x + k - 2 ) = 0 ( 3c )
x1 ( ext ) = 0 = const ( 4a )
x2 ( ext ) = 2 - k ( 4b )
Hier nun passiert was voll Komisches; so was hab ich in meiner Karriere überhaupt noch nicht erlebt. Für k < 2 entspricht ( 4a ) offenbar auch dem Minimum und ( 4b ) einem ( lokalen ) Maximum; aber für k > 2 scheinen die Rollen vertauscht. Was genau passiert an der kritischen Stelle x = 2 ?
Eine höhere Ableitung mus entscheiden. Und zwar bilden wir die 2. Ableitung direkt ohne Zwischenschritte aus ( 3a ) Dafür gibt es nämlich eine verallgemeinerte Produktregel ( VPR ) siehe Courant Bd. 2 . diese funktioniert ganz analog der ersten binomischen Formel:
u ( x ) := exp ( - x ) ( 5a )
v ( x ) := x ² + k x + k ( 5b )
( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v " = ( 5c )
f " ( x ) = ( x ² + k x + k - 4 x - 2 k + 2 ) exp ( - x ) ( 6a )
= [ x ² + ( k - 4 ) x + 2 - k ] exp ( - x ) ( 6b )
f " ( 0 ) = 2 - k ( 6c )
Genau wie wir erwartet hatten: Minimum für k < 2 und Maximum für k > 2 . aber eben keine Aussage für k = 2 . Analog
f " ( 2 - k ) = k - 2 ( 6d )
genau das umgekehrte Vorzeichen. Waaas? Noch höhere Ableitungen? Aber wie könnte es denn anders sein; diese Ableitungen sind ja stetig in k . Aber wir können uns die Arbeit denkökonomisch organisieren; dabei kommt uns sehr zustatten, dass wir ja nur an Ableitungen für x = 0 intressiert sind. Sämtliche Terme, die von Vorn herein verdächtig sind, dass sie von x abhängen, lassen wir einfach weg. Dazu zerlegen wir das Polynom in der Klammer ( 3a ) erst mal in seine 3 Beiträge und diskutieren diese getrennt:
T1 := x ² ( 7a )
T2 := k x ( 7b )
T3 := k ( 7c )
Die VPR für 3. ableitung schreibe ich doch nochmal ausführlich mit ===> Binominalkoeffizienten an, damit das Prinzip klar wird:
( u v ) (³) = ( 3 0 ) u (³) v + ( 3 1 ) u " v ' + ( 3 2 ) u ' v " + ( 3 3 ) u v (³) = ( 8a )
= u (³) v + 3 u " v ' + 3 u ' v " + u v (³) = ( 8b )
u war immer die e-Funktion; siehe ( 5a ) Diese liefert uns aber nur ein wechselndes Vorzeichen je nach Parität. Mit v tu ich die jeweiligen Potenzen von x identifizieren:
T1 (³) ( 0 ; k ) = 3 u ' v " = ( - 6 ) ( 9a )
T2 (³) ( 0 ; k ) = 3 u " v ' = 3 k ( 9b )
T3 (³) ( 0 ; k ) = u (³) v = ( - k ) ( 9c )
f ( 0 ; k ) (³) = 2 ( k - 3 ) ( 9d )
f ( 0 ; 2 ) (³) = ( - 2 ) ( 9e )
Deine Ergebnisse müssen richtig sein - weil ich hab gespickt. Aber dir fehlt offenbar meine Erfahrung; du merkst gar nicht, dass hier was voll Pathologisches abgeht. Meinem Intimus " Volker " schrieb ich seiner Zeit in Lycos, ab Heute " will ich Karl-Egon Eimer der Abwaschbare " heißen. Weißt du; auf so aufgaben freu ich mich; nicht das übliche Gelump
" Herr Lehrer; ich kann die Parabel noch nicht ... "
In dem kritischen Ausnahmefall, wo die beiden Extrema zusammen fallen, hast du nämlich bei x = 0 einen ===> Terrassenpunkt ( TP ) Das ist eine besondere Sorte WP mit waagrechter Wendetangente.
Nein da gibt es echt nix zu deuteln. Gerade Nullstelle bedeutet Extremum, (mehrfache) ungerade bedeutet TP . In dem kritischen Grenzfall kommt die Parabel ausdem 2. Quadranten und stoppt dann in der Terrasse bei x = 0, um im ersten quadranten in die Asymptotik der e-funktion zu münden - pervers.
Du in Lycos musste ich schwer Federn lassen; mühsam ernährt sich das Eichhörnchen. Die haben da Aufgaben weit wilder wie die Nullstellen von ( 6b ) in der Schule reden sie dir ja ein, die ( 6b ) sollst du mit der Mitternachtwurzel machen.
" Und? Was bringt uns das? Nix.
Und was lernen wir daraus? Wieder nix ... "
Nein; in Lycos kamen Formeln, die waren jetzt net quadratisch, sondern 3. Grades in x . Und du solltest sagen: Für welche k 1 , 2 oder 3 reelle Wurzeln?
Und irgendwann fiel bei mir der Zehner - besser spät als nie. Alle diese Modelle a la ( 6b ) sind nämlich LINEAR in diesem Parameter k ; noch nie von impliziten Metoden gehört? Tu doch ( 6b ) einfach mal nach k umstellen:
k = - ( x ² - 4 x + 2 ) / ( x - 1 ) ( 10 )
Hier da kürzt sich nix. Das Zählerpolynom faktorisiert nicht in ganzzahlige Wurzeln; es testet nämlich positiv mit ===> Eisensteinzahl 2 .
Sonst missbraucht ihr doch die Polynomdivision ( PD ) für alle unmöglichen Zwecke, wo ich mir längst schon bessere Alternativen erdachrt hab. Aber hier wäre sie doch empfehlenswert.
Weißt du, dass PD durch Linearfaktor ( PDLF ) mit dem Hornerschema geht? Pfeift sogar schon das Internet von den Dächern; in Lycos las ich mal den Kommentar
" Während sich der Schrat da vorne eine geschlagene Viertelstunde abmüht, hab ich das Ergebnis in einer Minute im Kopf.
Ich verrat euch das aber nur, wenn ihr auch schön höflich seid. "
Ich fürchte unser Sonderfall eines quadratischen Zählerpolynoms ist fast schon zu leicht, dass du das allgemeine Prinzip durchschaust. Ich setze
g ( x ) := - ( x ² - 4 x + 2 ) ( 11a )
Dann läuft doch PDLF grjndsepziell so ab:
g ( x ) : ( x - 1 ) = h ( x ) Rest g ( 1 ) ( 11b )
h ( x ) =: m x + b ( 11c )
Und jetzt darfst du die Zwischenergebnisse des Hornerschemas nicht weg schmeißen; dem " User " musst du den " Workvektor zurück geben " Horner
p2 ( g ) := a2 ( g ) = ( - 1 ) = m ( 12a )
p1 ( g ; 1 ) = p2 + a1 ( g ) = ( - 1 ) + 4 = 3 = b ( 12b )
p0 ( g ; 1 ) = p1 + a0 ( g ) = 3 - 2 = 1 = g ( 1 ) ( 12c )
h ( x ) = 3 - x ( 12d )
g ( x ) : ( x - 1 ) = 3 - x + 1 / ( x - 1 ) ( 12e )
Wenn ich dich jetzt frage: Was ist ( 12e ) für ein Kurventyp? Und du antwortest mir:
" Gerade + Hyperbel "
Dann bist du mir schon voll auf den Leim gegangen. In Lycos wird Eigenleistung groß geschrieben; und im Zusammenhang mit einer scheinbar harmlosen Extremwertaufgabe kam ich dahinter, dass
" Gerade + Hyperbel = Hyperbel "
( Diese Erkenntnis hat mich damals ungefähr genau so aus den Quadratlatschen gehauen wie oben der TP. )
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