Aloha :)
Zu zeigen: \(f:V\to W\,,\,\vec x\mapsto F\cdot\vec x\) ist injektiv \(\;\;\Leftrightarrow\;\;\) Kern\((F)=\{\vec 0_V\}\)
Die lineare Abbildung \(f\) werde druch eine Matrix \(F\) realisiert. Dann können wir Folgendes sagen.
Hinrichtung "\(\Rightarrow\)"
Wegen \(F\cdot\vec 0_V=\vec 0_W\) wird \(\vec 0_V\in V\) auf \(\vec 0_W\in W\) abgebildet. Daher ist \(\vec 0_V\in\text{Kern}(F)\). Da \(f\) nach Voraussetzung injektiv ist, wird auf jedes Element der Wertemenge höchstens ein Element der Definitionsmenge abgebildet. Es gibt daher kein weiteres Element aus \(V\), das auf \(\vec 0_W\) abbildet. Das heißt \(\text{Kern(F)}=\{\vec 0_V\}\).
Rückrichtung "\(\Leftarrow\)"
Wir nehmen an, es gibt 2 Elemente \(\vec x_1,\vec x_2\in V\), die denselben Funktionswert haben, dann gilt:$$f(\vec x_1)=f(\vec x_2)\;\;\Rightarrow\;\;F\vec x_1=F\vec x_2\;\;\Rightarrow\;\;F(\vec x_1-\vec x_2)=\vec 0_W$$Da nach Voraussetzung Kern\((F)=\{\vec 0_V\}\) ist, muss \(\vec x_1-\vec x_2=\vec 0_V\) bzw. \(\vec x_1=\vec x_2\) gelten. Das heißt, es gibt keine zwei verschiedenen Elemente aus \(V\), die dasselbe Bild haben. \(f\) ist also injektiv.
