Bei der Alternative "Beweis oder Gegenbeispiel" macht es fast immer Sinn, zunächst konstruktiv nach einem Gegenbeispiel zu suchen. Gelingt das nicht, kann man sich überlegen, wieso das nicht funktioniert hat, und daraus möglicherweise einen Beweis konstruieren. Welche (möglichst einfachen) Beispiele kennst du für Funktionen, die an "endlichen" Stellen den (einseitigen) Grenzwert ∞ haben? Ich hoffe, dir fallen sofort gebrochen-rationale Funktionen mit Polstellen ein. So kommst du vielleicht auf f(x) = x²/(1-x²). Diese Funktion erfüllt die Voraussetzungen. Und ist schon ein Gegenbeispiel für b), denn sie nimmt im Definitionsintervall keine negativen Werte an. Sie kann aber selbstverständlich für a) kein Gegenbeispiel sein, denn du sollst ja a) allgemein beweisen. Solche Existenzaussagen sind typisch für Zwischenwertsätze, für die Differenzialrechnung ist der "Mittelwertsatz der Differenzialrechnung" zuständig. Für diese Aufgabe musst du nur überlegen, warum deine Beispielfunktion und jede andere, die die Voraussetzung erfüllt, auf jeden Fall an zwei verschiedenen Stellen des Intervalls den gleichen Wert hat. Das reicht hoffentlich als Hinweis.
