I ist Primideal => I ist maximales Ideal

Question

Aufgabe:

R ist Hauptidealring

I ist Ideal von R mit I ≠ Nullideal.

zz: I Primideal => I maximales Ideal

Problem/Ansatz:

I ist Hauptideal => I = (a) mit a ∈ R

Sei b∈R aber b∉I

Angenommen I ist kein maximales Ideal, dann ist (a) + (b) ≠ R.

Sei r∈R bel. => r*a ∈ I

=> r*a + b = s ∈ R

=> ra = s - b = s + (-1) * b

=> s ∈ I und (-1)*b ∈ I

Da I Primideal ist, folgt (-1) ∈ I oder b ∈ I 

r = r * 1 = r * (-1) * (-1)  => r ∈ I

=> (a) + (b) = R da r beliebig war.

=> Widerspruch zur Annahme das (a) + (b) ≠ R

=> I ist maximales Ideal.

Ist das so richtig oder hab ich da irgendwo einen Fehler gemacht?

Answer 1

"Sei b∈R aber b∉I
Angenommen I ist kein maximales Ideal, dann ist (a) + (b) ≠ R."

Dies Argument funktioniert nicht, Betrachte etwa den Ringe der ganzen Zahlen:

a=4 und b=9.

Hier ein korrekter Beweis:

Sei \(I=(a)\) ein Primideal. Dann gibt es ein maximales Ideal \(M=(m)\neq R\)

mit \((a)\subset (m)\). Es gibt also \(r\in R\) mit \(a=rm\), d.h. \(rm\in (a)\).

Da \((a)\) Primideal ist, gilt: \(m\in (a)\;\vee \;r\in (a)\).

Im ersten Fall ist \((m)\subset (a)\), also \((a)=(m)\), d.h. \((a)\) ist maximal.

Im zweiten Fall gibt es \(s\in R\) mit \(r=as\).

Es folgt: \(a=rm=asm\Rightarrow sm=1\), also \(1\in (m)\), Widerspruch!