Zeigen Sie, es gibt ein Primideal...

Question

Seien R ein kommutativer Ring mit 1, S ⊂ R eine (nicht-leere) multiplikativ abgeschlossene Menge und I ⊆ R ein Ideal von R mit I ∩ S = ∅.

Zeigen Sie: es gibt ein Primideal P ⊂ R von R mit I ⊆ P und P ∩ S = ∅.

Hinweis: Zeigen Sie, IR_S ≠ R_S ist ein echtes Ideal von R_S.

Comments

was bedeutet die Notation \( R_S \)?

MfG

Mister

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R_S heißt lokaler Ring von R in S oder auch Lokalisierung von R in P.

Answer 1

Sei \(P\) ein maximales Element der Menge \(M\) aller Ideale \(Q\)
mit \(I\subset Q\) und \(Q\cap S=\emptyset\). Ich zeige, dass \(P\) ein Primideal ist:

Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall wäre, dann gäbe es
\(ab\in P\), wobei sowohl \(a\notin P\) als auch \(b\notin P\) gilt.

\(a\notin P\Rightarrow P+Ra\cap S\neq \emptyset\), da \(P\) maximal in \(M\) ist, ebenso

\(b\notin P\Rightarrow P+Rb\cap S\neq \emptyset\), da \(P\) maximal in \(M\) ist.

seien \(s_1\in P+Ra\), etwa \(s_1=p_1+r_1a\) und \(s_2\in P+Rb\), etwa \(s_2=p_2+r_2b\).

Dann ist \(s_1s_2\in S\) und \(s_1s_2=p_1p_2+p_1r_2b+p_2r_1a+r_1r_2ab\in P\), d.h.

\(P\cap S \neq \emptyset \), also \(P\notin M\), Widerspruch.

Damit ist bewiesen, dass \(P\) prim ist.