Aloha :)
Die Gesuchte ist eine Parabel 3-ten Gerades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$
Bei \(x=0\) und bei \(x=4\) hat die Funktion Extrema, das heißt die erste Ableitung an diesen Stellen ist gleich Null:
$$0\stackrel{!}{=}f'(0)=3a\cdot0^2+2b\cdot0+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=0}$$$$0\stackrel{!}{=}f'(4)=3a\cdot4^2+2b\cdot4+0=48a+8b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=-6a}$$
Wir setzen \(c=0\) und \(b=-6a\) in die Funktionsgleichung ein
$$f(x)=ax^3-6ax^2+d=a(x^3-6x^2)+d$$
und setzen die beiden Punkte \((0|0)\) und \((4|-32)\) ein:
$$0=f(0)=a(0^3+6\cdot0^2)+d=d\quad\Rightarrow\quad \underline{d=0}$$$$-32=f(4)=a(4^3-6\cdot4^2)=-32a\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}$$
Damit haben wir die Gesuchte gefunden:$$f(x)=x^3-6x^2$$
~plot~ x^3-6*x^2 ; [[-3|8|-40|5]] ~plot~
