Wie groß sind die Seitenlängen und der Flächeninhalt des Dreiecks

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A (0|0|0) B (1|1|-0.5) C (1|1|1)

Wie groß sind die Winkel, die Seitenlängen und der Flächeninhalt des Dreiecks ?

also Ich hab die winkel ausgerechnet α=β=54.7 und γ=70.53

Wie rechnet man dann die Seitenlängen und den Flächeninhalt aus ?

Answer 1

A (0|0|0); B (1|1|-0.5); C (1|1|1)

Seitenlängen:

\(c=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-0.5)^2}=1.5\)

\(b=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt  3\)

\(a=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{0^2+0^2+1.5^2}=1.5\)

Flächeninhalt:

\(A_\triangle=0.5a\cdot b \cdot\sin\gamma=0.5a\cdot c \cdot\sin\beta=0.5b\cdot c \cdot\sin\alpha\)

PS: Wie hast du die Winkel ohne die Seitenlängen ausgerechnet?

Ich rechne mal \(\alpha\) nach:

\(\cos\alpha=\dfrac{\vec b \cdot \vec c}{b\cdot c}=\dfrac{1+1-0.5}{1.5\cdot \sqrt 3}=\dfrac{1}{\sqrt 3}\)

\(\alpha\approx 54.7356103172^\circ\)

Comments

Danke dir !!

dafür hab ich die Koordinaten anstatt die Seitenlängen benutzt.

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ich glaub du hast einen Rechenfehler. a müsste 1,5 betragen. oder? also statt 0,5² soltte es 1,5² sein

aber wie kommst du auf die Formel für den Flächeninhalt ??

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Hallo Daniel,

ich habe den Fehler korrigiert, danke.

Zum Flächeninhalt:

Ich hatte zuerst den Faktor 0,5 vergessen.

Skizziere ein Dreieck. Ergänze eine beliebige Höhe, z.B h_c.

Du bekommst zwei rechtwinklige Dreiecke.

Im "linken Teildreieck" ist h die Gegenkathete von alpha und b die Hypotenuse.

sin alpha= h_c/b → h_c=b·sin alpha

Flächeninhalt A=0.5c·h_c=0.5c·b·sin alpha