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Aufgabe:

Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A (0|0|0) B (1|1|-0.5) C (1|1|1)

Wie groß sind die Winkel, die Seitenlängen und der Flächeninhalt des Dreiecks ?


also Ich hab die winkel ausgerechnet α=β=54.7 und γ=70.53

Wie rechnet man dann die Seitenlängen und den Flächeninhalt aus ?

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A (0|0|0); B (1|1|-0.5); C (1|1|1)

Seitenlängen:

c=AB=12+12+(0.5)2=1.5c=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-0.5)^2}=1.5

b=AC=1+1+1=3b=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt 3

a=BC=02+02+1.52=1.5a=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{0^2+0^2+1.5^2}=1.5

Flächeninhalt:

A=0.5absinγ=0.5acsinβ=0.5bcsinαA_\triangle=0.5a\cdot b \cdot\sin\gamma=0.5a\cdot c \cdot\sin\beta=0.5b\cdot c \cdot\sin\alpha


PS: Wie hast du die Winkel ohne die Seitenlängen ausgerechnet?

Ich rechne mal α\alpha nach:

cosα=bcbc=1+10.51.53=13\cos\alpha=\dfrac{\vec b \cdot \vec c}{b\cdot c}=\dfrac{1+1-0.5}{1.5\cdot \sqrt 3}=\dfrac{1}{\sqrt 3}

α54.7356103172\alpha\approx 54.7356103172^\circ

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Danke dir !!

dafür hab ich die Koordinaten anstatt die Seitenlängen benutzt.

ich glaub du hast einen Rechenfehler. a müsste 1,5 betragen. oder? also statt 0,52 soltte es 1,52 sein

aber wie kommst du auf die Formel für den Flächeninhalt ??

Hallo Daniel,

ich habe den Fehler korrigiert, danke.

Zum Flächeninhalt:

Ich hatte zuerst den Faktor 0,5 vergessen.

Skizziere ein Dreieck. Ergänze eine beliebige Höhe, z.B h_c.

Du bekommst zwei rechtwinklige Dreiecke.

Im "linken Teildreieck" ist h die Gegenkathete von alpha und b die Hypotenuse.

sin alpha= h_c/b → h_c=b·sin alpha

Flächeninhalt A=0.5c·h_c=0.5c·b·sin alpha

 

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