Grenzwerte des Logarithmus zur Basis a

Question

Ich soll einen Beweis führen, aber weiß gar nicht wie ich an die Aufgabe heran gehen soll... :-)

\(a\in ]0,\infty [\backslash \{1\}\) ist gegeben.

Sei  \(r \in ]0,\infty [\)   vorgegeben.

Beweise, dass  $$\lim\limits_{x\to\infty}  \frac{\log_a(x)}{x^r} =0$$

und $$ \lim\limits_{x\to\ 0}  x^r \cdot \log_a(x)=0$$

Ich habe leider echt keinen Ansatz oder Beweisidee... ich hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen!

LG, Clementine

Answer 1

Hallo Clementine,

Du kannst beides mit der Regel von l'Hospital zeigen. Im ersten Fall ist es offensichtlich $$\lim\limits_{x\to\infty}  \frac{\log_a(x)}{x^r} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac 1{x \ln a}}{rx^{r-1}} = \frac 1{r \ln a} \lim_{x \to \infty} \frac 1{x^r} = 0 \quad \text{für } r \gt 0$$

Im zweiten Fall kannst Du umformen$$\lim\limits_{x\to\ 0}  x^r \cdot \log_a(x)= \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(x)}{x^{-r}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac 1{x \ln a}}{-r x^{-r-1}} = -\frac 1{r \ln a} \lim_{x \to 0} x^r = 0$$Gruß Werner

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Danke !! :-)