Folgen und Reihen - Folgeglied bilden durch Bildungsgesetz

Question

Aufgabe:

Das zweite Folgeglied einer geometrischen Folge ist 12, das achte ist 8748.

a) Wie lautet das Bildungsgesetz?

b) Was ist das 6. Folgeglied

Problem/Ansatz:

!

Zu Aufgabe a)  hat man a₂ = 12 und a₈ = 8748 und jetzt muss ich a₁  herausfinden, aber wie mache ich das genau ?

Zu Aufgabe b) da ich keine weiteren Angaben aus der Aufgabe entehmen kann muss ich wahrscheinlich aus a) die Lösung für b) weiter verwenden  und wie soll ich das am besten machen ?

Answer 1

Aloha :)

Eine geometrische Folge kann man rekursiv definieren:$$a_{n+1}=a_n\cdot q\quad;\quad a_1=\text{const}$$Das n-te Folgenglied kann man dann wie folgt berechnen:$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$Aus dem Text wissen wir:

$$12=a_2=a_1\cdot q\quad;\quad8748=a_8=a_1\cdot q^7$$$$\Rightarrow\quad\frac{8748}{12}=\frac{a_1q^7}{a_1q}=q^6\quad\Rightarrow\quad q=\sqrt[6]{\frac{8748}{12}}=\sqrt[6]{729}=3$$$$\Rightarrow\quad 12=a_1\cdot q=a_1\cdot3\quad\Rightarrow\quad a_1=4$$Die gesuchte Folge lautet daher:$$a_n=4\cdot 3^{n-1}$$

Das 6-te Folgenglied ist also:$$a_6=4\cdot3^5=972$$