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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Eigenwerte λ i ∈ K und zugehörige Eigenvektoren v ∈ K^2 , i = 1, 2, von:

\( \begin{array}{l}{ A=\left(\begin{array}{cc}{i} & {2} \\ {2} & {i}\end{array}\right)} \\ {  \lambda_{1}, \lambda_{2}=~ ... } \\ { \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}= ~ ... }\end{array} \)


Problem/Ansatz:

Muss ich für i einmal 1 und einmal 2 einsetzen?

Avatar von

Für das i bei λ ja, aber das i in der Matrix soll ja wohl die komplexe Zahl sein. Vielleicht etwas ungeschickte Wahl der Benennung.

Also quasi dann i–λ=1–λ bzw. =2–λ?

Bzw. ich würde für detA=λ2–2λi–4–i2rausbekommen

Aber i2=–1 zählt das dann trotzdem?

Nein, das i in der Matrix ist die imaginäre Einheit und kein Index. Du setzt gar nix ein sondern berechnest einfach die Eigenwerte und EIgenvektoren. Du musst lediglich bei der Eingabe der Ergebnisse auf die richtige Reihenfolge achten.

Kontrollergebnisse:


https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28i%2C2%29%2C%282%2Ci%29%29

blob.jpeg

Text erkannt:

2. 1 ? \( \begin{array}{ll}{\text { a- } 1} & {\text { is } \frac{x}{10}} \\ {\text { (a) }} & {\text { i } \frac{1}{2}} \\ {\text { (a) }} & {\text { ? }} \\ {\text { a }} & {\text { ? }} \\ {\text { 4 } 6} & {\text { i- } \vdots}\end{array} \)

 So ?

1 Antwort

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Beste Antwort

λi i=index zum Unterscheiden

\( |A- \lambda E|= \lambda^{2} - 2 \; ί \;  \lambda - 5 = 0\)

===> \(\{\lambda_1 =2+i,\lambda_2 =-2+i\}\)

===>\(\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&2 + ί&\left(\begin{array}{rr}-2&2\\2&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\λ=&-2 + ί&\left(\begin{array}{rr}2&2\\2&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}x2&-x2\\x2&x2\\\end{array}\right)\)

ist Dir damit weiter geholfen?

Avatar von 21 k

Schon eher aber wie komme ich auf die Zeile

===>  {λ1 =2+i,λ2=−2+i} ?

Mitternachtsformel bei l^2 - 2 ί * l - 5 = 0

(- 2 ί ± √( ( - 2 ί )^2-4(-5)) )/2

 

Ich habe aber mit der p/q Formel gearbeitet und hätte

λ1/2 =–\( \frac{–2i}{2} \)  +/–   \( \sqrt{\frac{–2i}{2}^{2} +5} \)

λ1 =i+3i=4i

λ2 =i–3i=–2i

?

Okay habe den Fehler grade selber bemerkt Dankeschön

Dann sollest Du die Diskriminante unter der Wurzel schreiben als

\(\sqrt{\left(  \frac{-2 ί}{2} \right)^{2} + 5}\)

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