Eigenwerte und eigenvektoren mit komplexer Zahl i berechnen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Eigenwerte λ i ∈ K und zugehörige Eigenvektoren v ∈ K^2 , i = 1, 2, von:

\( \begin{array}{l}{ A=\left(\begin{array}{cc}{i} & {2} \\ {2} & {i}\end{array}\right)} \\ {  \lambda_{1}, \lambda_{2}=~ ... } \\ { \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}= ~ ... }\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Muss ich für i einmal 1 und einmal 2 einsetzen?

Comments

Für das i bei λ ja, aber das i in der Matrix soll ja wohl die komplexe Zahl sein. Vielleicht etwas ungeschickte Wahl der Benennung.

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Also quasi dann i–λ=1–λ bzw. =2–λ?

Bzw. ich würde für detA=λ²–2λi–4–i²rausbekommen

Aber i²=–1 zählt das dann trotzdem?

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Nein, das i in der Matrix ist die imaginäre Einheit und kein Index. Du setzt gar nix ein sondern berechnest einfach die Eigenwerte und EIgenvektoren. Du musst lediglich bei der Eingabe der Ergebnisse auf die richtige Reihenfolge achten.

Kontrollergebnisse:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28i%2C2%29%2C%282%2Ci%29%29

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Text erkannt:

2. 1 ? \( \begin{array}{ll}{\text { a- } 1} & {\text { is } \frac{x}{10}} \\ {\text { (a) }} & {\text { i } \frac{1}{2}} \\ {\text { (a) }} & {\text { ? }} \\ {\text { a }} & {\text { ? }} \\ {\text { 4 } 6} & {\text { i- } \vdots}\end{array} \)

 So ?

Answer 1

λ_i i=index zum Unterscheiden

\( |A- \lambda E|= \lambda^{2} - 2 \; ί \;  \lambda - 5 = 0\)

===> \(\{\lambda_1 =2+i,\lambda_2 =-2+i\}\)

===>\(\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&2 + ί&\left(\begin{array}{rr}-2&2\\2&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\λ=&-2 + ί&\left(\begin{array}{rr}2&2\\2&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}x2&-x2\\x2&x2\\\end{array}\right)\)

ist Dir damit weiter geholfen?

Comments

Schon eher aber wie komme ich auf die Zeile

===>  {λ₁ =2+i,λ2=−2+i} ?

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Mitternachtsformel bei l^2 - 2 ί * l - 5 = 0

(- 2 ί ± √( ( - 2 ί )^2-4(-5)) )/2

 

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Ich habe aber mit der p/q Formel gearbeitet und hätte

λ_1/2 =–\( \frac{–2i}{2} \)  +/–   \( \sqrt{\frac{–2i}{2}^{2} +5} \)

λ₁ =i+3i=4i

λ₂ =i–3i=–2i

?

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Okay habe den Fehler grade selber bemerkt Dankeschön

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Dann sollest Du die Diskriminante unter der Wurzel schreiben als

\(\sqrt{\left(  \frac{-2 ί}{2} \right)^{2} + 5}\)