Aufgabe:
Bestimmen Sie die Eigenwerte λ i ∈ K und zugehörige Eigenvektoren v ∈ K2 , i = 1, 2, von:
A=(i22i)λ1,λ2= ...v⃗1,v⃗2= ... \begin{array}{l}{ A=\left(\begin{array}{cc}{i} & {2} \\ {2} & {i}\end{array}\right)} \\ { \lambda_{1}, \lambda_{2}=~ ... } \\ { \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}= ~ ... }\end{array} A=(i22i)λ1,λ2= ...v1,v2= ...
Problem/Ansatz:
Muss ich für i einmal 1 und einmal 2 einsetzen?
Für das i bei λ ja, aber das i in der Matrix soll ja wohl die komplexe Zahl sein. Vielleicht etwas ungeschickte Wahl der Benennung.
Also quasi dann i–λ=1–λ bzw. =2–λ?
Bzw. ich würde für detA=λ2–2λi–4–i2rausbekommen
Aber i2=–1 zählt das dann trotzdem?
Nein, das i in der Matrix ist die imaginäre Einheit und kein Index. Du setzt gar nix ein sondern berechnest einfach die Eigenwerte und EIgenvektoren. Du musst lediglich bei der Eingabe der Ergebnisse auf die richtige Reihenfolge achten.
Kontrollergebnisse:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28i%2C2%29%2C%282%2Ci%29%2…
Text erkannt:
2. 1 ? a- 1 is x10 (a) i 12 (a) ? a ? 4 6 i- ⋮ \begin{array}{ll}{\text { a- } 1} & {\text { is } \frac{x}{10}} \\ {\text { (a) }} & {\text { i } \frac{1}{2}} \\ {\text { (a) }} & {\text { ? }} \\ {\text { a }} & {\text { ? }} \\ {\text { 4 } 6} & {\text { i- } \vdots}\end{array} a- 1 (a) (a) a 4 6 is 10x i 21 ? ? i- ⋮
So ?
λi i=index zum Unterscheiden
∣A−λE∣=λ2−2 ιˊ λ−5=0 |A- \lambda E|= \lambda^{2} - 2 \; ί \; \lambda - 5 = 0∣A−λE∣=λ2−2ιˊλ−5=0
===> {λ1=2+i,λ2=−2+i}\{\lambda_1 =2+i,\lambda_2 =-2+i\}{λ1=2+i,λ2=−2+i}
===>(λ=2+ιˊ(−222−2)(x1x2)=0λ=−2+ιˊ(2222)(x1x2)=0)\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&2 + ί&\left(\begin{array}{rr}-2&2\\2&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\λ=&-2 + ί&\left(\begin{array}{rr}2&2\\2&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)⎝⎜⎜⎜⎛λ=λ=2+ιˊ−2+ιˊ(−222−2)(2222)(x1x2)=0(x1x2)=0⎠⎟⎟⎟⎞
===>(x1x2)=(x2−x2x2x2)\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}x2&-x2\\x2&x2\\\end{array}\right)(x1x2)=(x2x2−x2x2)
ist Dir damit weiter geholfen?
Schon eher aber wie komme ich auf die Zeile
===> {λ1 =2+i,λ2=−2+i} ?
Mitternachtsformel bei l2 - 2 ί * l - 5 = 0
(- 2 ί ± √( ( - 2 ί )2-4(-5)) )/2
Ich habe aber mit der p/q Formel gearbeitet und hätte
λ1/2 =––2i2 \frac{–2i}{2} 2–2i +/– –2i22+5 \sqrt{\frac{–2i}{2}^{2} +5} 2–2i2+5
λ1 =i+3i=4i
λ2 =i–3i=–2i
?
Okay habe den Fehler grade selber bemerkt Dankeschön
Dann sollest Du die Diskriminante unter der Wurzel schreiben als
(−2ιˊ2)2+5\sqrt{\left( \frac{-2 ί}{2} \right)^{2} + 5}(2−2ιˊ)2+5
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos