Wie berechne ich die Extrema für die Funktionsschar fa(x)=e^(2x) -ae^(x) für a>0?

Question

Ich habe die Frage bereits vorher gestellt nur konnte ich sie nicht mehr bearbeiten und leider war die Funktion falsch gestellt! Ich erwarte Hilfe, denn für mich sind die Grenzen meines mathematischen könnens hier erreicht

Ich war noch in der Lage die Ableitung zu bilden f'a(x)=2e^(2x) -ae^(x)

und mit der notwendigen Bedingung f'(x)=0 zu setzten 2e^(2x) -ae^(x)=0 , jedoch gibt es folgendes Problem! Das Umstellen ist mir ein Rätsel. Ich kann hier leider gottes die e's nicht zusammenfassen, da die Exponente zur basis nicht gleich sind. Was nun? Tja, ich könnte verzweifeln. Das will ich aber nicht, ich will es endlich verstehen!  Ich habe über eine Substitution nachgedacht und habe beim Resubstituieren einen Käse rausbekommen, der mir absolut gar nicht schmeckt. Kann wer bitte mir seine Rechnung zeigen und mir das erklären, bitte.

Answer 1

Mach dasselbe, wie bei der Frage x² -x = 0, nämlich x ausklammer!

notw: f ' (x) = 0

2e^2x - ae^x = 0 ,  da e^2x  = e^x*e^x

e^x(2e^x - a) = 0

e^x > 0 , kann nicht  0 sein.

2e^x - a = 0

e^x = a/2       I ln( )

x = ln(a/2)

dann noch hinr. mit dem gleichen Trick!

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OOOOOOh, ich habe zu kompiziert gedacht :D

Answer 2

Erst einmal ein Bild:

https://www.desmos.com/calculator/yrbgrbyfli

Extrema:

$$f'_a(x)=2e^{2x} -ae^x=0$$

$$0=2(e^x)^2 -ae^x=0$$

$$0=(e^x)^2 -0.5ae^x=0$$

$$0=e^x(e^x-0.5a)=0$$

$$0=e^x-0.5a$$

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Danke dir!!!!