Mit Arcsin bzw. arccos arbeiten?

Question

Aufgabe:

4. Die beiden Funktionen \( \mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \cos (\mathrm{x}) \) und \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin (\mathrm{x}) \) werden addiert und
geben die Funktion \( f(x)=a^{*} \sin (x+\varphi) . \) Berechnen Sie die Werte für a und \( \varphi \)

Problem/Ansatz:

Ich hab leider keine Ahnung wie ich auf den Wert von sin(x+p) zugreifen kann. Für a ist es ja einfaches umstellen der Gleichung 2cos(x)+sin(x)=a*sin(x+p). Wie stelle ich die Gleichung nach p um ?

Answer 1

Aloha :)

Du sollst \(a\) und \(\varphi\) bestimmen, sodass folgende Gleichung korrekt ist:$$2\cos(x)+\sin(x)\,\stackrel{!}{=}\,a\,\sin(x+\varphi)$$Diese Gleichung muss ja dann auch für \(x=0\) und \(x=\frac{\pi}{2}\) korrekt sein. Wir setzen ein:$$x=0\;\quad\Rightarrow\quad2=a\,\sin\varphi$$$$x=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad1=a\,\sin\left(\frac{\pi}{2}+\varphi\right)=a\,\cos\varphi$$Wenn wir beide Seite quadrieren und danach addieren, erhalten wir:

$$2^2+1^2=(a\sin\varphi)^2+(a\cos\varphi)^2=a^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=a^2\;\;\Rightarrow\;\;\underline{a=\sqrt 5}$$Das \(\varphi\) erhalten wir so:$$1=a\cos\varphi=\sqrt5\cos\varphi\;\;\Rightarrow\;\;\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt5}\;\;\Rightarrow\;\;\underline{\varphi=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)}\approx63,43^o$$

~plot~ 2cos(x)+sin(x) ; sqrt(5)*sin(x+acos(1/sqrt(5))) ~plot~

Answer 2

2cos(x)+sin(x)=a*sin(x+p)

Add.theorem

2cos(x)+sin(x)=a*sin(x)*cos(p) +  a*cos(x)*sin(p)

<=>  (2-a*sin(p))*cos(x)+( 1-a*cos(p))  = 0

<=>  2 = a*sin(p)      und    2 = 2a*cos(p)

<=>  2 =  a*sin(p)      und    1    =    a*sin(p)   /(2  a*cos(p)  )

<=>  2 =  a*sin(p)      und    2    =    tan(p)

<=    2 =  a*sin(p)      und    arctan(2)    =   p  (eine Lösung)

<=>   2 /   sin(  arctan(2) ) = a    und       arctan(2)    =   p

<=>           a = √5     und     p = arctan(2)