Mittlere Temperatur Integration

Question

Aufgabe:

Die Temperatur eines Tages verläuft nach folgender Gleichung: f(t) = 11 − 1/16 (t − 11)hoch2 Dabei gibt f(t) die Temperatur in ◦C an und t die Zeit in Stunden, beginnend um 0 Uhr (t = 0). Wie hoch ist die mittlere Temperatur zwischen 8 und 11 Uhr?

(a) 9.77 (b) 10.81 (c) 2.95 (d) 3.14 (e) 11.46

ich weiß  ich muss hier integrieren, komme aber irgendwie nicht auf das richtige ergebnis, kann mir wer helfen?

Text erkannt:

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{1}{3}\int\limits_8^{11}\left(11-\frac{1}{16}(t-11)^2\right)dt=\frac{1}{3}\int\limits_8^{11}11\,dt-\frac{1}{48}\int\limits_8^{11}(t-11)^2dt$$$$=\frac{1}{3}\cdot[11\,t]_8^{11}-\frac{1}{48}\cdot\left[\frac{1}{3}(t-11)^3\right]_8^{11}=\frac{1}{3}(121-88)-\frac{1}{48}\left(0-\frac{(-3)^3}{3}\right)$$$$=\frac{33}{3}-\frac{9}{48}=11-\frac{3}{16}=10,8125$$

Comments

Wieso genau wird nur die 11 extra intergriert? Ist das eine bestimmte Integrationsregel?

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Ja, wenn der Integrand aus 2 Summanden besteht, kannst du das Integral aufteilen. Das spart oft Rechnerei:

$$\int(\,f(x)+g(x)\,)dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$$

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Man kann Teilintegrale bilden. Das spart Arbeit. :)

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Okay, vielen Dank!

Answer 2

∫f(t) dt= - \( \frac{1}{48} \) (t³-33t-165). Nach Einsetzen der Grenzen 8 und 11 ergibt sich: 32.4375 und auf 3 Stunden gestreckt: ≈10,81.

Answer 3

f(t) = -1/16*t^2+22/16*t+55/16

F(t) = ...

Answer 4

f(t) = 11 - 1/16·(t - 11)^2

F(t) = 11·t - 1/16·1/3·(t - 11)^3 =  11·t - 1/48·(t - 11)^3

(F(11) - F(8)) / (11 - 8) = (121 - 88.5625) / (3) = 10.8125

Comments

wie bist du auf 88.5625 gekommen?

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Was bekommst du für F(8) heraus? Habe ich mich verrechnet?