Integral: Mittlere Temperatur berechnen

Question

ich hab folgende Aufgabe Die Temperatur eines Tages verläuft nach folgender Gleichung:
f(t)=14−(1/20)(t−12)²
Dabei gibt f(t) die Temperatur in C° an und t die Zeit in Stunden, beginnend um 0 Uhr (t=0).
Wie hoch ist die mittlere Temperatur zwischen 16 und 18 Uhr?

Ich habe auch eine Lösung gefunden hier (https://www.mathelounge.de/693753/mittlere-temperatur-integration), aber komme ab der zweiten Zeile der Besten Antwort nicht mit wie man dort vorgeht (z.B. Warum ist dort die 11 in Eckigen Klammern Mal t?).

Ich wäre sehr Dankbar auf eine schritt für schritt Lösung (auch nur von der Anderen Aufgabe), so dass ich meine Aufgabe lösen kann.

LG

Answer 1

Aloha :)$$f(t)=14-\frac{1}{20}(t-12)^2\quad;\quad t\ge0$$Die mittlerere Temperatur \(T\) zwischen 16 und 18 Uhr erhältst du mit Hilfe eines Integrals:$$T=\frac{1}{18-16}\int\limits_{16}^{18}f(t)dt=\frac{1}{2}\int\limits_{16}^{18}\left(14-\frac{1}{20}(t-12)^2\right)dt$$$$\phantom{T}=\frac{1}{2}\int\limits_{16}^{18}14dt-\frac{1}{2}\int\limits_{16}^{18}\frac{1}{20}(t-12)^2dt=7\int\limits_{16}^{18}1dt-\frac{1}{40}\int\limits_{16}^{18}(t-12)^2dt$$Jetzt führen wir die Integration durch:$$T=7\left[t\right]_{16}^{18}-\frac{1}{40}\left[\frac{(t-12)^3}{3}\right]_{16}^{18}=7\left[18-16\right]-\frac{1}{40}\left[\frac{(18-12)^3}{3}-\frac{(16-12)^3}{3}\right]$$$$\phantom{T}=7\cdot2-\frac{1}{40}\left[\frac{6^3}{3}-\frac{4^3}{3}\right]=12,7\overline3\approx12,73^o$$

~plot~ 14-1/20*(x-12)^2 ; 12,7333*(x>=16)*(x<=18) ; [[0|24|0|15]] ~plot~

Comments

Dankeschön, war sehr Hilfreich!

Answer 2

Hallo

 das Integral über 11dt ist 11t, die eckigen Klammern sind darum um die Grenzen anzugeben, bei dir wären das entsprechende die 14, $$ 1/2*\int_{16}^{18} 14dt=1/2*[14t]_{16}^{18}$$

das Integral wurde als Summe von 2 Integralen geschrieben, du kannst aber auch den ganze Ausdruck zusammen integrieren.

Gruß lul

Answer 3

Du bildest von deiner Vorgegebenen Funktion die Stammfunktion

f(t) = 14 - 1/20·(t - 12)^2

F(t) = 14·t - 1/60·(t - 12)^3

Teste jetzt mal ob F(t) abgeleitet f(t) ergibt.

Mit Hilfe der Stammfunktion bildest du jetzt den Mittelwert der Temperatur

(F(18) - F(16)) / (18 - 16) = (248.4 - 222.9) / (18 - 16) = 12.75